مفارقة أعياد الميلاد: كم شخصًا يلزم حتى يتشارك اثنان نفس التاريخ؟

اللغز الذي يُدهش دائمًا

كم شخصًا يجب جمعهم في غرفة ليكون هناك أكثر من فرصة من اثنتين أن يحتفل اثنان منهم بعيد ميلادهما في نفس اليوم؟

بالحدس، نفكّر في 183 (نصف 365). الجواب الحقيقي: 23.

المنحنى الذي يجعلك تقول « آه »

بعض القيم الملفتة:

• 10 أشخاص → ≈ 12٪
• 23 شخصًا → ≈ 50٫7٪ (العتبة الأسطورية)
• 50 شخصًا → ≈ 97٪
• 70 شخصًا → ≈ 99٫9٪

لماذا الجواب ليس 183

الخطأ الكلاسيكي: نُقارن أنفسنا بالآخرين. بينما يجب حساب جميع الأزواج الممكنة.

مع $n$ شخص، عدد الأزواج هو $\frac{n(n-1)}{2}$. مع 23 شخصًا، هذا يعطي 253 زوجًا — لكلٍّ منها فرصة صغيرة (~1/365) للتصادم. 253 × (1/365) قريبة من 0٫7 بالفعل. عدد الأزواج يزداد بسرعة مع $n$.

الصيغة الدقيقة

احتمال عدم وقوع أي تصادم:

$P(\text{لا شيء}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{365 - n + 1}{365}$

وبالتالي:

$P(\text{تصادم واحد على الأقل}) = 1 - P(\text{لا شيء})$

الدرس الذي يجب تذكّره

حدسنا يُقلّل من سرعة تكاثر الأزواج. نفس الفخّ في العديد من مسائل الاحتمالات: عُدّ الأزواج (أو المجموعات)، لا الأفراد.

?دورك الآن

في فصل من 30 تلميذًا، احتمال أن يتشارك اثنان نفس عيد الميلاد هو تقريبًا:

A.3٪B.12٪C.70٪D.50٪

تحقّق