Proba conditionnelle : $P(A|B)$ sans se tromper

La formule

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{(avec } P(B) > 0\text{)}$

En français : parmi les cas où B est réalisé, quelle proportion réalise aussi A.

L’astuce mentale : « restreindre l’univers »

Quand tu vois $P(A \mid B)$, imagine que tu ignores tout ce qui n’est pas B. Puis tu comptes la proportion de A dans ce nouvel univers.

Un exemple concret

Dans une classe de 30 élèves :

• 12 sont des filles.
• 8 élèves portent des lunettes, dont 5 filles.

$P(\text{lunettes} \mid \text{fille}) = ?$

Univers restreint aux filles : 12 élèves. Parmi elles, 5 portent des lunettes. Donc $P = 5/12$.

Vérification avec la formule

• $P(\text{lunettes} \cap \text{fille}) = 5/30$.
• $P(\text{fille}) = 12/30$.
• $P(\text{lunettes} \mid \text{fille}) = \dfrac{5/30}{12/30} = 5/12$ ✓.

L’erreur qui coûte cher

$P(A \mid B) \ne P(B \mid A)$ en général.

Exemple : $P(\text{être noir} \mid \text{être un corbeau})$ ≈ 100 %. Mais $P(\text{être un corbeau} \mid \text{être noir})$ est très faible.

La formule de Bayes (bonus)

$P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$

C’est la clé de la médecine, du machine learning et de la théorie de la décision.

?À toi de jouer

On tire une carte d'un jeu de 52 cartes. Sachant que la carte est rouge, quelle est la probabilité qu'elle soit un cœur ?

A.1/4B.1/2C.1/13D.13/52

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