مشتقة الدالة المركّبة: قاعدة السلسلة بدون تِيه

الصيغة

إذا كان $u(x) = f\bigl(g(x)\bigr)$، فإن:

$u'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr) \times g'(x)$

بالعربية: مشتقة الدالة الخارجية مُقيَّمة عند الدالة الداخلية، ضرب مشتقة الداخلية.

العبارة المُساعدة التي تعمل دائمًا

عندما ترى $f(g(x))$، انتقل إلى وضع « البصلة »: طبقتان لتقشيرهما.

اشتقّ الخارجية، احفظ الداخلية، اضرب في مشتقة الداخلية.

مثال خطوة بخطوة

لنشتقّ $u(x) = (3x + 2)^5$.

ثلاثة أمثلة سريعة

$\bigl(\sin(2x)\bigr)' = \cos(2x) \times 2 = 2\cos(2x)$ (الخارجية: sin. الداخلية: 2x، المشتقة = 2.)

$\bigl(e^{x^2}\bigr)' = e^{x^2} \times 2x$ (الخارجية: exp. الداخلية: x²، المشتقة = 2x.)

$\bigl(\sqrt{x^2 + 1}\bigr)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \times 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ (الخارجية: الجذر. الداخلية: x² + 1، المشتقة = 2x.)

الخطأ الكلاسيكي

نسيان الضرب في مشتقة الداخلية. $\bigl(\sin(2x)\bigr)' = \cos(2x)$ خطأ — ينقص العامل 2.

اختبار سريع: إذا لم تكن الداخلية مجرد $x$، تحتاج العامل.

?دورك الآن

ما مشتقة f(x) = (x² + 1)³؟

A.3·(x² + 1)²B.3·(2x)² = 12x²C.6x·(x² + 1)²D.3·(x² + 1)² · x

تحقّق

?دورك الآن

مشتقة f(x) = cos(3x + 1)؟

A.−sin(3x + 1)B.−3·sin(3x + 1)C.3·sin(3x + 1)D.sin(3x + 1)

تحقّق