النشر المحدود في 0: الستة الأساسية للتحضيري

النشور الستة الأساسية في 0 (الرتبة 3)

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$

$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^3)$

$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2} x^2 + o(x^2)$

$\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3)$

لماذا النشور المحدودة

تسمح بـ استبدال دالة بكثير حدود بجوار 0، مما يجعل نهايات النوع $\dfrac{0}{0}$ سهلة.

مثال يُبهج

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$

البسط: $e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$.

إذن النهاية تساوي $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2/2}{x^2} = \dfrac{1}{2}$.

القواعد الذهبية الثلاث

1. انشر إلى رتبة كافية — وإلا تفقد المعلومة الأساسية.
2. لا تجمع أبدًا $o(x^n)$ لرتب مختلفة دون تفكير.
3. تحقّق أن نشرك فعلًا في 0 (وإلا قم بتغيير المتغيّر).

حيلة التركيب

لـ $\ln(1 + \sin x)$، استبدل $x$ بـ $\sin x$ في $\ln(1+u)$، ثم عوّض نشر $\sin$ وأعِد التجميع حسب الرتبة.

?دورك الآن

ما نشر sin(x) − x إلى الرتبة 3 في 0؟

A.−x²/2 + o(x³)B.−x³/6 + o(x³)C.0 + o(x³)D.x³/6 + o(x³)

تحقّق