لماذا تتباعد السلسلة التوافقية (وليس $\sum 1/n^2$)

النظرية

• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ تتباعد. (السلسلة التوافقية)
• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}$ تتقارب إذا وفقط إذا $\alpha > 1$. (سلاسل ريمان)

برهان أنيق بالتجميع (أورسم، 1350)

جمِّع الحدود في حزم بأحجام $1, 2, 4, 8, \dots$:

$1 + \dfrac{1}{2} + \underbrace{\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right)}_{> 2 \times 1/4 = 1/2} + \underbrace{\left(\dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{8}\right)}_{> 4 \times 1/8 = 1/2} + \dots$

كل حزمة تُساوي أكثر من $1/2$ تمامًا. بما أن عدد الحزم غير منتهٍ، المجموع لا نهائي.

لماذا $\sum 1/n^2$ تتقارب

تفكيك بالتلسكوب: $\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}$.

بالجمع، كل شيء يتلسكب والمجموع محدود بـ 2. في الواقع، $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$ (أويلر، 1735).

قاعدة معيار ريمان

$\dfrac{1}{n^\alpha}$ تتقارب إذا القوة تتجاوز 1. تطبيقات:

• $\sum 1/\sqrt{n} = \sum 1/n^{1/2}$ ← تتباعد ($1/2 < 1$)
• $\sum 1/n^3$ ← تتقارب
• $\sum 1/(n \ln n)$ ← تتباعد (مقارنة تكاملية)

مقارنات مفيدة

• إذا كان $|u_n| \leq v_n$ و$\sum v_n$ تتقارب، فإن $\sum u_n$ تتقارب.
• إذا كان $u_n \sim v_n$ في اللانهاية (نفس الإشارات)، $\sum u_n$ و$\sum v_n$ لهما نفس الطبيعة.

?دورك الآن

أيّ من هذه السلاسل تتقارب؟

A.Σ 1/nB.Σ 1/√nC.Σ 1/n^{1٫5}D.Σ 1/ln(n)

تحقّق