$(a+b)^n$ : le binôme de Newton et le triangle de Pascal

La formule

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$

Chaque terme : un coefficient binomial $\binom{n}{k}$, une puissance de $a$ décroissante, une puissance de $b$ croissante.

Le triangle de Pascal (jusqu’à $n = 5$)

$$\begin{array}{c} 1 \\ 1 \; 1 \\ 1 \; 2 \; 1 \\ 1 \; 3 \; 3 \; 1 \\ 1 \; 4 \; 6 \; 4 \; 1 \\ 1 \; 5 \; 10 \; 10 \; 5 \; 1 \end{array}$$

Chaque nombre = somme des deux au-dessus. La ligne $n$ donne les $\binom{n}{k}$ pour $k = 0, \dots, n$.

Exemple : $(x + 2)^4$

Coefficients ligne 4 : $1, 4, 6, 4, 1$.

$(x + 2)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot 8 + 16$

$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

Cas particuliers connus

• $n = 2$ : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $n = 3$ : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

Le contrôle final

Vérifie ton résultat avec $a = b = 1$ : la somme des coefficients doit valoir $2^n$. Pour $n = 4$ : $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$ ✓.

L’astuce du signe

Pour $(a - b)^n$, alterne les signes : $+, -, +, -, \dots$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

?À toi de jouer

Quel est le coefficient de x²y³ dans (x + y)⁵ ?

A.5B.10C.15D.20

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