Repérer une identité remarquable en 2 secondes chrono

Les trois formules

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Les trois motifs à reconnaître

Quand tu vois une expression, cherche deux carrés parmi les termes. C’est le premier signal.

Motif 1 : « carré + terme + carré » avec le milieu positif → $(a+b)^2$

$x^2 + 6x + 9$ : les deux carrés sont $x^2$ et $9 = 3^2$. Le milieu $6x = 2 \times x \times 3$ ✓. Donc $= (x + 3)^2$.

Motif 2 : « carré + terme + carré » avec le milieu négatif → $(a-b)^2$

$4x^2 - 20x + 25$ : $4x^2 = (2x)^2$, $25 = 5^2$. Milieu $-20x = -2 \times 2x \times 5$ ✓. Donc $= (2x - 5)^2$.

Motif 3 : « carré moins carré » (rien entre) → $(a-b)(a+b)$

$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

$9y^2 - 16 = (3y)^2 - 4^2 = (3y - 4)(3y + 4)$.

Le test express en 3 secondes

Devant une expression, pose-toi trois questions :

1. Y a-t-il exactement 3 termes ? → probablement Motif 1 ou 2.
2. Y a-t-il exactement 2 termes séparés par un « − » ? → probablement Motif 3.
3. Les termes extrêmes sont-ils des carrés parfaits ? Si oui, tu tiens ton identité.

L’erreur classique à éviter

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ jamais. Il manque le fameux $2ab$. Chaque fois que tu élèves une somme au carré, écris explicitement les 3 termes.

?À toi de jouer

Quelle est la forme factorisée de x² − 16 ?

A.(x − 4)²B.(x − 4)(x + 4)C.(x + 4)²D.(x² − 4)(x² + 4)

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?À toi de jouer

Développer (2x − 3)² donne :

A.4x² + 9B.4x² − 6x + 9C.4x² − 12x + 9D.2x² − 12x + 9

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