cos²(x) + sin²(x) = 1 : Pythagore déguisé

L’identité

Pour tout angle $x$ (en degrés ou radians) :

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

Pourquoi c’est vrai : Pythagore sur le cercle unité

Un point du cercle de rayon $1$ à l’angle $x$ a pour coordonnées $(\cos x, \sin x)$. Le triangle rectangle formé par ce point, l’origine et sa projection sur l’axe des abscisses a pour côtés $\cos x$, $\sin x$ et hypoténuse $1$.

Pythagore : $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1^2 = 1$.

À quoi ça sert (concrètement)

• Connaître $\cos x$, calculer $\sin x$ (au signe près) : $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$.
• Simplifier les expressions trigonométriques : chaque fois que tu vois $\cos^2 + \sin^2$, tu peux remplacer par 1.
• Prouver d’autres identités (formule de $\tan$, développements).

L’utilité au bac

Beaucoup d’exercices demandent de « montrer que » quelque chose vaut 1 ou 0 — la manip clé est presque toujours cette identité.