Pourquoi la série harmonique diverge (et pas $\sum 1/n^2$)

Le théorème

• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ diverge. (Série harmonique)
• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$. (Séries de Riemann)

Preuve élégante par regroupement (Oresme, 1350)

Regroupe les termes par paquets de tailles $1, 2, 4, 8, \dots$ :

$1 + \dfrac{1}{2} + \underbrace{\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right)}_{> 2 \times 1/4 = 1/2} + \underbrace{\left(\dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{8}\right)}_{> 4 \times 1/8 = 1/2} + \dots$

Chaque paquet vaut strictement plus que $1/2$. Comme il y a une infinité de paquets, la somme est infinie.

Pourquoi $\sum 1/n^2$ converge

Décomposition en télescopage : $\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}$.

En sommant, tout se télescope et la somme est majorée par 2. En fait, $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$ (Euler, 1735).

La règle du critère de Riemann

$\dfrac{1}{n^\alpha}$ converge ssi la puissance dépasse 1. Application :

• $\sum 1/\sqrt{n} = \sum 1/n^{1/2}$ → diverge ($1/2 < 1$)
• $\sum 1/n^3$ → converge
• $\sum 1/(n \ln n)$ → diverge (comparaison intégrale)

Comparaisons utiles

• Si $|u_n| \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
• Si $u_n \sim v_n$ à l’infini (mêmes signes), $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature.

?À toi de jouer

Laquelle de ces séries converge ?

A.Σ 1/nB.Σ 1/√nC.Σ 1/n^{1,5}D.Σ 1/ln(n)

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