Reconnaître une forme indéterminée : les 4 FI classiques

Les 4 formes indéterminées

$\boxed{\infty - \infty} \quad \boxed{\dfrac{0}{0}} \quad \boxed{\dfrac{\infty}{\infty}} \quad \boxed{0 \times \infty}$

Devant l’une d’elles, tu ne peux pas conclure directement. Il faut transformer l’expression pour lever l’indétermination.

Les cas qui ne sont pas indéterminés

• $\infty + \infty = \infty$
• $\infty \times \infty = \infty$
• $\dfrac{k}{0^+} = \pm\infty$ (selon signe de $k$)
• $\dfrac{k}{\pm\infty} = 0$

Comment lever une FI

• Factoriser par le terme dominant (utile en $\pm\infty$).
• Développer ou conjuguer (pour lever une racine).
• Simplifier un facteur commun (typique en $x \to a$).

Un exemple express

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2 - x)$ est de la forme $\infty - \infty$. On factorise : $x^2(1 - \tfrac{1}{x}) \to +\infty \times 1 = +\infty$.

Le réflexe à avoir

Devant une limite, écris toujours la forme obtenue avant de conclure. Si c’est indéterminée, dis-le explicitement et transforme.