أنظمة المعادلات الخطية: درس كامل (التعويض، التآليف، المصفوفات)

ما هو النظام؟

نظام خطي هو مجموعة معادلات بعدّة مجاهيل يجب تحقيقها كلها في نفس الوقت.

مثال: $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

الحلّ هو ثنائي $(x, y)$ (أو ثلاثي، إلخ) يُحقّق كل المعادلات.

الطريقة 1: التعويض

1. اعزل مجهولًا في معادلة.
2. عوّض في المعادلة الأخرى.
3. حلّ معادلة بمجهول واحد.
4. ارجع إلى المعادلة الأولى لإيجاد المجهول الآخر.

مثال: من $x - y = 1$، نستخرج $x = y + 1$. نُعوّض في الأولى: $2(y + 1) + y = 5$ ⇒ $3y = 3$ ⇒ $y = 1$، ثم $x = 2$.

الطريقة 2: التآلف الخطي

1. اضرب كل معادلة لمحاذاة معاملات مجهول.
2. اجمع أو اطرح لحذف هذا المجهول.
3. حلّ المعادلة بمجهول واحد.
4. ارجع إلى معادلة أصلية.

مثال: جمع المعادلتَين يعطي $3x = 6$ ⇒ $x = 2$، ثم $y = 1$.

الطريقة 3: محور غاوس (3+ مجاهيل)

لـ $n$ معادلات بـ $n$ مجاهيل، نُحوّل النظام بعمليات أوّلية:

• تبديل سطرَين.
• ضرب سطر في عدد غير صفري.
• إضافة مضاعف لسطر إلى سطر آخر.

الهدف: الحصول على نظام مثلثي (أصفار تحت القطر)، ثم الصعود.

عدد الحلول (2 معادلات، 2 مجاهيل)

$\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

المحدِّد: $\Delta = a b' - a' b$.

• $\Delta \neq 0$ ⇒ حلّ وحيد (مستقيمان متقاطعان).
• $\Delta = 0$ والنظام متوافق ⇒ لانهاية من الحلول (منطبقان).
• $\Delta = 0$ والنظام غير متوافق ⇒ لا حلّ (متوازيان).

الكتابة المصفوفية

$\begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ c' \end{pmatrix}$

إذا كانت $A$ قابلة للانعكاس، $X = A^{-1} B$.

تطبيقات ملموسة

• مسائل الخلط (تركيزَين).
• تحسين اقتصادي (منتجَين).
• نظام قوى في الفيزياء.

أخطاء شائعة

1. نسيان التحقّق في المعادلتَين في النهاية.
2. أخطاء إشارة عند طرح المعادلات.
3. الاستنتاج «لا حلّ» بسرعة (أحيانًا هي لانهاية).
4. التخمين بدل تطبيق طريقة منهجية.