Systèmes d'équations linéaires : cours complet (substitution, combinaison, matrices)

Qu’est-ce qu’un système ?

Un système linéaire est un ensemble d’équations à plusieurs inconnues qu’il faut satisfaire toutes en même temps.

Exemple : $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Une solution est un couple $(x, y)$ (ou triplet, etc.) qui vérifie toutes les équations.

Méthode 1 : substitution

1. Isoler une inconnue dans une équation.
2. Remplacer dans l’autre équation.
3. Résoudre l’équation à 1 inconnue.
4. Revenir à la première pour trouver l’autre inconnue.

Exemple : de $x - y = 1$, on tire $x = y + 1$. On remplace dans la première : $2(y + 1) + y = 5$ ⇒ $3y = 3$ ⇒ $y = 1$, puis $x = 2$.

Méthode 2 : combinaison linéaire

1. Multiplier chaque équation pour aligner les coefficients d’une inconnue.
2. Additionner ou soustraire pour éliminer cette inconnue.
3. Résoudre l’équation à 1 inconnue.
4. Revenir dans une équation initiale.

Exemple : additionner les deux équations donne $3x = 6$ ⇒ $x = 2$, puis $y = 1$.

Méthode 3 : pivot de Gauss (3+ inconnues)

Pour $n$ équations à $n$ inconnues, on transforme le système par opérations élémentaires :

• Échanger deux lignes.
• Multiplier une ligne par un réel non nul.
• Ajouter à une ligne un multiple d’une autre.

Le but : obtenir un système triangulaire (0 sous la diagonale), puis remonter.

Nombre de solutions (2 équations, 2 inconnues)

$\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

Déterminant : $\Delta = a b' - a' b$.

• $\Delta \neq 0$ ⇒ une unique solution (droites sécantes).
• $\Delta = 0$ et système compatible ⇒ infinité de solutions (droites confondues).
• $\Delta = 0$ et système incompatible ⇒ pas de solution (droites parallèles).

Écriture matricielle

$\begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ c' \end{pmatrix}$

Si $A$ inversible, $X = A^{-1} B$.

Applications concrètes

• Problèmes de mélange (2 concentrations).
• Optimisation économique (2 produits).
• Système de forces en physique.

Erreurs classiques

1. Oublier de vérifier dans les deux équations en fin.
2. Se tromper de signe en soustrayant les équations.
3. Conclure “pas de solution” trop vite (parfois c’est l’infinité).
4. Faire l’oeil au lieu d’appliquer proprement une méthode systémique.