الإحصاء الوصفي: درس كامل (المتوسّط، الوسيط، الربيعيات، الانحراف المعياري)

المفردات الأساسية

• سلسلة إحصائية: قائمة قيم $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
• التكرار $n_i$: عدد مرات ظهور القيمة $x_i$.
• التكرار الكلي $N = \sum n_i$.
• التردّد $f_i = n_i / N$ (غالبًا بالنسبة المئوية).

المتوسّط

متوسّط بسيط: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

متوسّط مرجَّح (بالتكرارات): $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \sum f_i x_i$

الوسيط

الوسيط $M$ يقسّم السلسلة المرتَّبة إلى نصفَين متساويَين.

• إذا كان $N$ فرديًا: الوسيط = القيمة الوسطى.
• إذا كان $N$ زوجيًا: الوسيط = متوسّط القيمتَين الوسطيّتَين.

مقاوم للقيم الشاذّة، بخلاف المتوسّط.

الربيعيات

• $Q_1$: 25 % من القيم $\leq Q_1$.
• $Q_2$: الوسيط.
• $Q_3$: 75 % من القيم $\leq Q_3$.

المدى الربيعي: $Q_3 - Q_1$. يقيس التشتّت حول الوسيط.

المنوال

القيمة (أو الفئة) الأكثر تكرارًا.

المدى

$\text{المدى} = \max - \min$. يقيس المجال (حسّاس للقيم الشاذّة).

التباين والانحراف المعياري

التباين: متوسّط مربّعات الانحرافات عن المتوسّط.

$V = \dfrac{1}{N} \sum n_i (x_i - \bar{x})^2$

صيغة بديلة (أسرع غالبًا):

$V = \bar{x^2} - \bar{x}^2 \quad \text{حيث } \bar{x^2} = \dfrac{1}{N} \sum n_i x_i^2$

الانحراف المعياري: $\sigma = \sqrt{V}$.

الانحراف المعياري بنفس وحدة البيانات، إذًا أكثر «قراءة».

المتوسّط أم الوسيط

• المتوسّط: جيّد عندما تكون البيانات متناظرة وبلا قيم شاذّة.
• الوسيط: مفضَّل عند وجود قيم شاذّة (مثل الرواتب، أسعار العقار).

الرسوم البيانية الشائعة

• بأعمدة: التكرارات لكل قيمة.
• صندوق بشعيرات (box-plot): min، $Q_1$، الوسيط، $Q_3$، max.
• مدرَّج تكراري: فئات مستمرّة.

أخطاء شائعة

1. نسيان الترتيب قبل حساب الوسيط.
2. الخلط بين التكرار والتردّد.
3. نسيان الترجيح بالتكرارات.
4. الخلط بين الانحراف المعياري والتباين (الرتبة 2).