Statistiques descriptives : cours complet (moyenne, médiane, quartiles, écart-type)

Vocabulaire de base

• Série statistique : liste de valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
• Effectif $n_i$ : nombre de fois où la valeur $x_i$ apparaît.
• Effectif total $N = \sum n_i$.
• Fréquence $f_i = n_i / N$ (souvent en %).

Moyenne

Moyenne simple : $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Moyenne pondérée (avec effectifs) : $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \sum f_i x_i$

Médiane

La médiane $M$ partage la série ordonnée en deux moitiés égales.

• Si $N$ impair : médiane = valeur du milieu.
• Si $N$ pair : médiane = moyenne des 2 valeurs centrales.

Robuste aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.

Quartiles

• $Q_1$ : 25 % des valeurs sont $\leq Q_1$.
• $Q_2$ : la médiane.
• $Q_3$ : 75 % des valeurs sont $\leq Q_3$.

Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$. Mesure la dispersion autour de la médiane.

Mode

Valeur (ou classe) la plus fréquente.

Étendue

$\text{étendue} = \max - \min$. Mesure la plage de la série (sensible aux extrêmes).

Variance et écart-type

Variance : moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

$V = \dfrac{1}{N} \sum n_i (x_i - \bar{x})^2$

Formule alternative (souvent plus rapide) :

$V = \bar{x^2} - \bar{x}^2 \quad \text{où } \bar{x^2} = \dfrac{1}{N} \sum n_i x_i^2$

Écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$.

L’écart-type est dans la même unité que les données, donc plus « lisible ».

Choisir entre moyenne et médiane

• Moyenne : bonne quand les données sont symétriques et sans extrêmes.
• Médiane : préférée quand il y a des valeurs aberrantes (ex : salaires, prix immobiliers).

Diagrammes usuels

• Bâtons : effectifs par valeur.
• Boîte à moustaches (box-plot) : min, $Q_1$, médiane, $Q_3$, max.
• Histogramme : classes continues.

Erreurs classiques

1. Oublier de trier avant de calculer la médiane.
2. Confondre effectif et fréquence.
3. Oublier la pondération avec les effectifs.
4. Confondre écart-type et variance (ordre 2).