الاحتمالات: درس كامل (الفضاء، الأحداث، الاحتمال الشرطي، الاستقلال)

المفردات الأساسية

• تجربة عشوائية: تجربة لا يمكن التنبّؤ بنتيجتها.
• الفضاء العيّني $\Omega$: مجموعة كل النتائج الممكنة.
• حدث: جزء من $\Omega$.
• حدث بسيط: $\{ \omega \}$ (نتيجة واحدة).

الاحتمال: البديهيات الثلاث

الاحتمال $P$ يحقّق:

1. $0 \leq P(A) \leq 1$ لكل حدث $A$.
2. $P(\Omega) = 1$.
3. إذا كان $A$ و $B$ متنافيَين ($A \cap B = \emptyset$): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

تساوي الاحتمال

إذا كانت كل النتائج متساوية الاحتمال:

$P(A) = \dfrac{\text{عدد النتائج المواتية}}{\text{عدد النتائج الممكنة}} = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$

الصيغ الواجب معرفتها

• الحدث المضاد: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
• الاجتماع: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

الاحتمال الشرطي

$P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (\text{إذا } P(B) \neq 0)$

«احتمال $A$ علمًا بـ $B$». انتبه: $P(A | B) \neq P(B | A)$ عمومًا.

أحداث مستقلة

$A$ و $B$ مستقلّان إذا وفقط إذا:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

بشكل مكافئ: $P(A | B) = P(A)$ (إذا $P(B) \neq 0$).

الشجرة المرجَّحة

على شجرة مرجَّحة:

• مجموع الاحتمالات الخارجة من عقدة يساوي 1.
• احتمال مسار = جداء احتمالات الأغصان.
• احتمال حدث = مجموع احتمالات المسارات التي تؤدي إليه.

قانون الاحتمالات الكلية

إذا كانت $(B_1, B_2, \ldots, B_n)$ تجزئة لـ $\Omega$ (كلها متنافية، اجتماعها = $\Omega$):

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) \cdot P(B_i)$

صيغة بايز

$P(B | A) = \dfrac{P(A | B) \cdot P(B)}{P(A)}$

تسمح بعكس الشرطي. مفيدة غالبًا مع قانون الاحتمالات الكلية.

المتغيّرة العشوائية

المتغيّرة العشوائية $X$ تربط بكل نتيجة في $\Omega$ عددًا.

• قانون $X$: قائمة الأزواج $(x_i, P(X = x_i))$.
• الأمل الرياضي: $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$.
• التباين: $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
• الانحراف المعياري: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

أخطاء شائعة

1. الخلط بين $P(A | B)$ و $P(B | A)$.
2. جمع $P(A) + P(B)$ للاجتماع دون طرح $P(A \cap B)$.
3. قول مستقلّان = متنافيان (مفهومان مختلفان).
4. نسيان أنّ مجموع أغصان عقدة الشجرة يساوي 1.