Probabilités : cours complet (univers, événements, conditionnelles, indépendance)

Vocabulaire de base

• Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.
• Univers $\Omega$ : ensemble de tous les résultats possibles.
• Événement : sous-ensemble de $\Omega$.
• Événement élémentaire : $\{ \omega \}$ (un seul résultat).

Probabilité : les 3 axiomes

Une probabilité $P$ vérifie :

1. $0 \leq P(A) \leq 1$ pour tout événement $A$.
2. $P(\Omega) = 1$.
3. Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$) : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Équiprobabilité (loi uniforme)

Si tous les résultats sont équiprobables :

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre de résultats possibles}} = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$

Formules à connaître

• Complémentaire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
• Union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Probabilité conditionnelle

$P_B(A) = P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (\text{si } P(B) \neq 0)$

« Probabilité de $A$ sachant $B$ ». Attention : $P(A | B) \neq P(B | A)$ en général.

Événements indépendants

$A$ et $B$ sont indépendants ssi :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Ou de façon équivalente : $P(A | B) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$).

Arbre pondéré

Sur un arbre pondéré :

• La somme des probas partant d’un nœud vaut 1.
• La proba d’un chemin = produit des probas des branches.
• La proba d’un événement = somme des probas des chemins qui y mènent.

Formule des probabilités totales

Si $(B_1, B_2, \ldots, B_n)$ forment une partition de $\Omega$ (tous incompatibles, union = $\Omega$) :

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) \cdot P(B_i)$

Formule de Bayes

$P(B | A) = \dfrac{P(A | B) \cdot P(B)}{P(A)}$

Permet de retourner la conditionnelle. Souvent utile avec les formules des probas totales.

Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque résultat de $\Omega$.

• Loi de $X$ : liste des couples $(x_i, P(X = x_i))$.
• Espérance : $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$.
• Variance : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Erreurs classiques

1. Confondre $P(A | B)$ et $P(B | A)$.
2. Sommer $P(A) + P(B)$ pour union sans soustraire $P(A \cap B)$.
3. Dire indépendant = incompatible (ce sont deux notions différentes).
4. Oublier que la somme des branches d’un nœud d’arbre vaut 1.