الاستمرارية والنهايات: درس كامل للبكالوريا | الثانوي

النهاية في نقطة

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ يعني أنّ $f(x)$ «تقترب» من $\ell$ عندما $x$ «تقترب» من $a$ .

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ : $f(x)$ تقترب من $\ell$ عندما تصير $x$ كبيرة جدًا.

نفس الشيء لـ $x \to -\infty$ .

$x \to$	$x^n$	$1/x^n$	$\sqrt{x}$	$e^x$	$\ln x$
$+\infty$	$+\infty$	$0$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$0^+$	$0$	$+\infty$	$0$	$1$	$-\infty$

بشرط الوجود:

$\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ $\lim (f \times g) = \lim f \times \lim g$ $\lim (f / g) = \lim f / \lim g \quad (\lim g \neq 0)$

⚠️ انتبه للـ حالات غير المحدَّدة:

$\infty / \infty$ لقسمة حدوديّات: احتفظ بالحدود المهيمنة.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 5}{2x^2 - 1} = \dfrac{3}{2}$ .

$0/0$ : عمِّل وبسِّط.

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$ .

مقارنات النموّ:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ (الأسية تغلب الحدودية).
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0$ لـ $\alpha > 0$ (الحدودية تغلب اللوغاريتم).

مقاربة أفقية في $+\infty$ إذا $\lim_{x \to +\infty} f = \ell$ (منتهية): $y = \ell$ .
مقاربة عمودية في $a$ إذا $\lim_{x \to a} f = \pm\infty$ : $x = a$ .
مقاربة مائلة في $+\infty$ إذا $\lim [f(x) - (ax + b)] = 0$ : $y = ax + b$ .

$f$ مستمرة في $a$ إذا $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

$f$ مستمرة على $I$ إذا كانت مستمرة في كل نقطة من $I$ .

مبرهنة: الحدوديّات، exp، ln، sin، cos، $\sqrt{}$ ، قسمة (حيث المقام لا ينعدم) مستمرّة على مجالها.

إذا كانت $f$ مستمرة على $[a, b]$ و $k$ محصورة بين $f(a)$ و $f(b)$ ، يوجد $c \in [a, b]$ بحيث $f(c) = k$ .

نتيجة التقابل: إذا كانت $f$ إضافةً رتيبة قطعًا، فإنّ $c$ وحيد.