Continuité et limites : cours complet (définitions, opérations, indéterminations)

Limite en un point

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ « s’approche » de $\ell$ quand $x$ « s’approche » de $a$.

• $\ell$ fini : limite finie.
• $\ell = \pm\infty$ : limite infinie.

Limite à l’infini

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ : $f(x)$ s’approche de $\ell$ quand $x$ devient très grand.

Idem pour $x \to -\infty$.

Limites de référence

$x \to$	$x^n$	$1/x^n$	$\sqrt{x}$	$e^x$	$\ln x$
$+\infty$	$+\infty$	$0$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$0^+$	$0$	$+\infty$	$0$	$1$	$-\infty$

Opérations sur les limites

Sous réserve d’existence :

$\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ $\lim (f \times g) = \lim f \times \lim g$ $\lim (f / g) = \lim f / \lim g \quad (\lim g \neq 0)$

⚠️ Attention aux formes indéterminées :

• $\infty - \infty$
• $0 \times \infty$
• $0 / 0$
• $\infty / \infty$
• $1^\infty$
• $0^0$

Lever une forme indéterminée

$\infty / \infty$ pour un quotient de polynômes : garder les termes dominants (plus haut degré).

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 5}{2x^2 - 1} = \dfrac{3}{2}$.

$0/0$ : factoriser et simplifier.

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

Croissances comparées :

• $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ (exp bat polynôme).
• $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0$ pour $\alpha > 0$ (polynôme bat log).

Asymptotes

• Asymptote horizontale en $+\infty$ si $\lim_{x \to +\infty} f = \ell$ (fini) : $y = \ell$.
• Asymptote verticale en $a$ si $\lim_{x \to a} f = \pm\infty$ : $x = a$.
• Asymptote oblique en $+\infty$ si $\lim [f(x) - (ax + b)] = 0$ : $y = ax + b$.

Continuité

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

$f$ est continue sur $I$ si continue en tout point de $I$.

Théorème : les polynômes, exp, ln, sin, cos, $\sqrt{}$, quotients (là où le dénominateur ne s’annule pas) sont continues sur leur domaine.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire de bijection : si en plus $f$ est strictement monotone, alors $c$ est unique.

Erreurs classiques

1. Passer à la limite dans un quotient sans vérifier que le dénominateur ne s’annule pas.
2. Utiliser $\infty - \infty = 0$ (faux : indéterminé).
3. Oublier la continuité avant d’utiliser le TVI.
4. Confondre limite en un point et valeur en ce point.