التكاملات: درس كامل للبكالوريا | الثانوي

التكامل: تعريف حدسي

إذا كانت $f$ مستمرة وموجبة على $[a, b]$ ، فالتكامل $\int_a^b f(x)\, dx$ هو المساحة بين منحنى $f$ ومحور الفواصل ومستقيمَي $x = a$ و $x = b$ .

إذا كانت $f$ تُغيّر إشارتها، تُحسب المساحات فوق المحور موجبةً وتحته سالبةً.

إذا كانت $F$ دالة أصلية لـ $f$ على $[a, b]$ :

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) = \Big[ F(x) \Big]_a^b$

الصيغة التي تحوّل حساب مساحة إلى حساب دالة أصلية.

الخطية: $\int_a^b (\alpha f + \beta g)(x)\, dx = \alpha \int_a^b f(x)\, dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx$

علاقة شال: $\int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx$

قلب الحدود: $\int_a^b f(x)\, dx = - \int_b^a f(x)\, dx$

الإيجابية: إذا $f \geq 0$ على $[a, b]$ مع $a < b$ ، فإنّ $\int_a^b f(x)\, dx \geq 0$ .

التطابق: إذا $f \leq g$ على $[a, b]$ مع $a < b$ ، فإنّ $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

القيمة المتوسّطة لـ $f$ على $[a, b]$ :

$\bar{f} = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\, dx$

هي «الارتفاع الثابت» الذي يعطي نفس المساحة.

إذا $f \geq g$ على $[a, b]$ :

$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big) \, dx$

$\int_a^b u'(x) v(x)\, dx = \big[ u(x) v(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x)\, dx$

مفيدة لـ $\int x \ln x$ ، $\int x e^x$ ، $\int \ln x$ ، إلخ.

+ ثابت (للدالة الأصلية، لا للتكامل المحدَّد).