Intégrales : cours complet (définie, primitives, aire, propriétés)

L’intégrale : définition intuitive

Pour $f$ continue et positive sur $[a, b]$, l’intégrale $\int_a^b f(x)\, dx$ est l’aire entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses, et les droites $x = a$ et $x = b$.

Pour $f$ de signe variable, on compte les aires au-dessus de l’axe positivement et en dessous négativement.

Théorème fondamental

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ :

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) = \Big[ F(x) \Big]_a^b$

C’est la formule qui transforme un calcul d’aire en un calcul de primitive.

Propriétés à connaître

Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g)(x)\, dx = \alpha \int_a^b f(x)\, dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx$

Relation de Chasles : $\int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx$

Inversion des bornes : $\int_a^b f(x)\, dx = - \int_b^a f(x)\, dx$

Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x)\, dx \geq 0$.

Inégalité : Si $f \leq g$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ vaut :

$\bar{f} = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\, dx$

C’est la « hauteur constante » qui aurait la même aire.

Aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a, b]$ :

$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big) \, dx$

Intégration par parties (IPP)

$\int_a^b u'(x) v(x)\, dx = \big[ u(x) v(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x)\, dx$

Utile pour $\int x \ln x$, $\int x e^x$, $\int \ln x$, etc.

Primitives usuelles

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$

+ constante (pour la primitive, pas pour l’intégrale définie).

Cas particuliers utiles

• $\int_a^b f = 0$ si $f$ impaire et bornes symétriques $[-a, a]$.
• $\int_{-a}^{a} f = 2 \int_0^a f$ si $f$ paire.
• $\int_a^a f = 0$ toujours.

Erreurs classiques

1. Ajouter $+C$ à une intégrale définie (elle est un nombre).
2. Oublier de vérifier la continuité avant d’utiliser le théorème fondamental.
3. Se tromper de signe en inversant les bornes.
4. Utiliser $\ln x$ au lieu de $\ln |x|$ comme primitive de $1/x$.