الدالة التآلفية: درس كامل (التمثيل، المعامل الموجّه، الترتيب عند الأصل)

التعريف

دالة تآلفية لها الشكل:

$f(x) = a x + b$

حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان ثابتان.

• $a$ هو المعامل الموجّه (أو الميل).
• $b$ هو الترتيب عند الأصل (القيمة في $0$: $f(0) = b$).

حالات خاصة

• إذا $b = 0$: دالة خطّية $f(x) = a x$ (مستقيم يمرّ بالأصل).
• إذا $a = 0$: دالة ثابتة $f(x) = b$ (مستقيم أفقي).

التمثيل البياني

منحنى دالة تآلفية هو مستقيم:

• غير عمودي (لأنّ $x$ حرّ).
• يمرّ بالنقطة $(0, b)$.
• يمرّ بالنقطة $(1, a + b)$.

حساب المعامل الموجّه

بمعرفة نقطتَين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ من المستقيم:

$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

انتبه: $x_A \neq x_B$ وإلا فالمستقيم عمودي (ليس دالة).

اتجاه التغيّر

• $a > 0$ ⇒ $f$ متزايدة قطعًا على $\mathbb{R}$.
• $a < 0$ ⇒ $f$ متناقصة قطعًا على $\mathbb{R}$.
• $a = 0$ ⇒ $f$ ثابتة.

إيجاد التعبير انطلاقًا من نقطتَين

الخطوة 1: احسب $a$ بالصيغة أعلاه. الخطوة 2: أوجد $b$ بكتابة أنّ $A$ ينتمي إلى المستقيم: $y_A = a x_A + b$.

مثال: مستقيم يمرّ بـ $A(1, 5)$ و $B(3, 11)$.

$a = (11 - 5) / (3 - 1) = 3$.

$5 = 3 \times 1 + b$ ⇒ $b = 2$.

إذًا $f(x) = 3 x + 2$.

إشارة دالة تآلفية

إذا $a \neq 0$، $f$ تنعدم في $x_0 = -b/a$.

الإشارة:

• $a > 0$: سالبة قبل $x_0$، موجبة بعد.
• $a < 0$: موجبة قبل $x_0$، سالبة بعد.

«إشارة $a$ بعد الجذر، إشارة معاكسة قبل».

مستقيمان: متوازيان، متقاطعان، منطبقان

ليكن $d : y = a x + b$ و $d' : y = a' x + b'$.

• $a = a'$ و $b \neq b'$ ⇒ متوازيان تمامًا.
• $a = a'$ و $b = b'$ ⇒ منطبقان.
• $a \neq a'$ ⇒ متقاطعان في نقطة وحيدة.

تطبيقات ملموسة

• سعر اشتراك: $f(x) = 0{,}5 \, x + 20$ (20 ثابت + 0,50 لكل مكالمة).
• تكلفة إنتاج: $f(x) = 3 \, x + 100$ (100 ثابتة + 3 لكل وحدة).
• تحويل درجات: $T_F = 1{,}8 \, T_C + 32$.

أخطاء شائعة

1. الخلط بين $a$ و $b$ في $f(x) = a x + b$.
2. نسيان القسمة في صيغة المعامل الموجّه.
3. الاعتقاد أنّ المستقيم العمودي دالة تآلفية (خطأ: عدّة $y$ لنفس $x$).
4. الاعتقاد أنّ $f(x) = 3$ ليست تآلفية (بلى، مع $a = 0$).