Fonction affine : cours complet (représentation, coefficient directeur, ordonnée à l'origine)

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

$f(x) = a x + b$

où $a$ et $b$ sont des réels fixés.

• $a$ est le coefficient directeur (ou pente).
• $b$ est l’ordonnée à l’origine (valeur en $0$ : $f(0) = b$).

Cas particuliers

• Si $b = 0$ : fonction linéaire $f(x) = a x$ (droite passant par l’origine).
• Si $a = 0$ : fonction constante $f(x) = b$ (droite horizontale).

Représentation graphique

La courbe d’une fonction affine est une droite :

• Non verticale (car $x$ est libre).
• Passe par le point $(0, b)$.
• Passe par le point $(1, a + b)$.

Calculer le coefficient directeur

Connaissant deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ de la droite :

$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Attention : $x_A \neq x_B$ sinon la droite est verticale (pas affine).

Sens de variation

• $a > 0$ ⇒ $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• $a < 0$ ⇒ $f$ strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
• $a = 0$ ⇒ $f$ constante.

Trouver l’expression à partir de deux points

Étape 1 : calculer $a$ avec la formule ci-dessus. Étape 2 : trouver $b$ en écrivant que $A$ appartient à la droite : $y_A = a x_A + b$.

Exemple : droite passant par $A(1, 5)$ et $B(3, 11)$.

$a = (11 - 5) / (3 - 1) = 3$.

$5 = 3 \times 1 + b$ ⇒ $b = 2$.

Donc $f(x) = 3 x + 2$.

Signe d’une fonction affine

Si $a \neq 0$, $f$ s’annule en $x_0 = -b/a$.

Signe :

• $a > 0$ : négatif avant $x_0$, positif après.
• $a < 0$ : positif avant $x_0$, négatif après.

« Signe de $a$ après la racine, signe opposé avant ».

Deux droites : parallèles, sécantes, confondues

Soient $d : y = a x + b$ et $d' : y = a' x + b'$.

• $a = a'$ et $b \neq b'$ ⇒ strictement parallèles.
• $a = a'$ et $b = b'$ ⇒ confondues.
• $a \neq a'$ ⇒ sécantes en un point unique.

Applications concrètes

• Prix d’un abonnement : $f(x) = 0{,}5 \, x + 20$ (20€ fixes + 0,50€/appel).
• Coût de production : $f(x) = 3 \, x + 100$ (100€ frais fixes + 3€/unité).
• Conversion km/h vs m/s : $v_{m/s} = v_{km/h} / 3{,}6$.

Erreurs classiques

1. Confondre $a$ et $b$ dans $f(x) = a x + b$.
2. Oublier de diviser dans la formule du coefficient directeur.
3. Croire qu’une droite verticale est une fonction affine (faux : plusieurs $y$ pour un même $x$).
4. Croire que $f(x) = 3$ n’est pas une fonction affine (si, avec $a = 0$).