الدالّة من الدرجة الثانية: درس كامل مع القطع المكافئ التفاعلي

الصيغة العامة

الدالّة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية تُكتب:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{مع } a \neq 0$

• a المعامل الأعلى (يحدّد اتجاه القطع المكافئ)
• b معامل الدرجة الأولى
• c الترتيب في الأصل (= $f(0)$)

القطع المكافئ في العمل

حرّك المعاملات أدناه لتشاهد القطع المكافئ والمميّز والجذور تتغيّر مباشرة:

a =1b =-2c =-3

Discriminant Δ

—

Racines

—

Sommet

—

جرّب:

• غيّر إشارة a → ينقلب القطع
• اجعل a صغيرًا جدًّا → يتفلطح القطع
• غيّر b و c → تنتقل الجذور أو تختفي

المميّز: $\Delta = b^2 - 4ac$

العدد السحري الذي يقرّر ما إذا كانت للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ حلول.

الحالة	عدد الحلول	الصيغ
$\Delta > 0$	جذران حقيقيان مختلفان	$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	جذر مضاعف	$x_0 = \dfrac{-b}{2a}$
$\Delta < 0$	لا جذور حقيقية	(جذور عقدية)

الرأس

رأس القطع المكافئ:

$S\left(-\dfrac{b}{2a} \; ; \; f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$

يظهر بالأخضر على القطع التفاعلي أعلاه.

• إذا كان $a > 0$: القطع مفتوح إلى الأعلى، الرأس قيمة صغرى.
• إذا كان $a < 0$: القطع مفتوح إلى الأسفل، الرأس قيمة عظمى.

الصيغة القانونية

بإكمال المربّع:

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$

حيث $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ و $\beta = f(\alpha)$. النقطة $(\alpha, \beta)$ هي بالضبط الرأس.

مثال

$f(x) = 2x^2 - 8x + 5$

• $\alpha = 2$
• $\beta = -3$
• الصيغة القانونية: $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$

ثلاث أمثلة كلاسيكية

مثال 1: $\Delta > 0$ (جذران)

حُلّ $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$
• $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

مثال 2: $\Delta = 0$ (جذر مضاعف)

حُلّ $x^2 - 6x + 9 = 0$.

• $\Delta = 0$، جذر مضاعف $x_0 = 3$.
• يُعمَّل إلى $(x - 3)^2$.

مثال 3: $\Delta < 0$ (لا جذر حقيقي)

حُلّ $x^2 + x + 1 = 0$.

• $\Delta = -3 < 0$
• لا حل حقيقي. القطع لا يلامس محور الأفاصيل.

إشارة ثلاثي الحدود

قاعدة في سطر واحد: $f(x)$ من نفس إشارة $a$ خارج الجذرَين، ومن إشارة معاكسة لـ $a$ بينهما.

إذا كان $a > 0$ و $x_1 < x_2$:

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$f(x)$		$+$	0	$-$	0	$+$

الصيغة المعمَّلة

عندما $\Delta \geq 0$:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

(أو $a(x - x_0)^2$ في حالة جذر مضاعف).

مثال: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

الطريقة خطوة بخطوة

أمام معادلة $ax^2 + bx + c = 0$:

1. حدِّد $a$، $b$، $c$.
2. احسب $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. انظر إشارة $\Delta$.
4. طبِّق الصيغة المناسبة.
5. تحقّق بالتعويض.

أخطاء شائعة

1. نسيان $2a$ في صيغة الجذور — ليس فقط $2$.
2. إشارة $b$: في الصيغة $-b$؛ إذا كان $b = -5$، اكتب $-(-5) = +5$.
3. تربيع $b$ بلا أقواس: $(-3)^2 = 9$ وليس $-9$.
4. الخلط بين المعادلة والدالة.

تمارين محلولة

تمرين 1

حُلّ $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

عرض الحل

$\Delta = 9 + 16 = 25$ $x_1 = -2$، $x_2 = 1/2$.

تمرين 2

جِد رأس $f(x) = -x^2 + 4x + 1$.

عرض الحل

$\alpha = 2$، $\beta = 5$. الرأس $S(2, 5)$. بما أنّ $a < 0$ فهو قيمة عظمى.

تمرين 3

لأيّ قيمة $m$ يكون للمعادلة $x^2 - 2x + m = 0$ جذر مضاعف؟

عرض الحل

يجب $\Delta = 0$: $4 - 4m = 0$، أي $m = 1$.

للحفظ

• $\Delta = b^2 - 4ac$ يقرّر عدد الجذور.
• الرأس: $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
• الإشارة: نفس $a$ خارج الجذور.
• القطع مفتوح للأعلى إذا $a > 0$، للأسفل إذا $a < 0$.
• الصيغة القانونية: $a(x - \alpha)^2 + \beta$.

للمزيد

• حيل مرتبطة: المميّز في 5 ثوانٍ، التعميل من الجذور.
• تطبيق: الأمثلة (إيجاد قيمة عظمى أو صغرى).
• التالي: المعادلات الثنائية التربيعية $ax^4 + bx^2 + c = 0$ تُحل بوضع $X = x^2$.