Fonction du second degré : cours complet avec parabole interactive

La forme générale

Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme :

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$

• a est le coefficient dominant (impose l’orientation de la parabole)
• b est le coefficient de degré 1
• c est l’ordonnée à l’origine (= $f(0)$)

La parabole en action

Manipule les coefficients ci-dessous pour voir la parabole, le discriminant et les racines évoluer en temps réel :

a =1b =-2c =-3

Discriminant Δ

—

Racines

—

Sommet

—

Observations à faire toi-même :

• Change le signe de a → la parabole se retourne
• Rends a très petit → la parabole s’aplatit et tend vers une droite
• Fais varier b et c → les racines se déplacent ou disparaissent

Le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$

C’est le nombre magique qui décide si l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ a des solutions.

Cas	Nombre de solutions	Formules
$\Delta > 0$	2 racines réelles distinctes	$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	1 racine double	$x_0 = \dfrac{-b}{2a}$
$\Delta < 0$	0 racine réelle	(racines complexes)

Le sommet

Le sommet de la parabole se trouve à :

$S\left(-\dfrac{b}{2a} \; ; \; f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$

Sur ta parabole interactive ci-dessus, il apparaît en vert.

• Si $a > 0$ : la parabole est tournée vers le haut, le sommet est un minimum.
• Si $a < 0$ : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum.

Forme canonique

En complétant le carré, on peut réécrire :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$

où $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Le point $(\alpha, \beta)$ est exactement le sommet.

Exemple de passage à la forme canonique

$f(x) = 2x^2 - 8x + 5$

• $\alpha = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2$
• $\beta = f(2) = 2 \times 4 - 8 \times 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$
• Forme canonique : $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$

Trois exemples classiques

Exemple 1 : $\Delta > 0$ (2 racines)

Résous $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• $a = 1, b = -5, c = 6$
• $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$
• $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$, $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$
• Solutions : $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$.

Exemple 2 : $\Delta = 0$ (racine double)

Résous $x^2 - 6x + 9 = 0$.

• $\Delta = 36 - 36 = 0$
• Racine double : $x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$.
• L’expression se factorise en $(x - 3)^2$.

Exemple 3 : $\Delta < 0$ (pas de racine réelle)

Résous $x^2 + x + 1 = 0$.

• $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$
• Pas de solution réelle.
• La parabole ne coupe jamais l’axe des abscisses.

Signe du trinôme

Une fois qu’on connaît les racines, on peut donner le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Règle en une phrase : $f(x)$ est du signe de $a$ en dehors des racines, et du signe contraire de $a$ entre les racines.

Si $a > 0$ et $\Delta > 0$ avec $x_1 < x_2$ :

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$f(x)$		$+$	0	$-$	0	$+$

Factorisation

Quand $\Delta \geq 0$, on peut factoriser :

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

(ou $f(x) = a(x - x_0)^2$ si racine double).

Exemple : $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Méthode pas à pas

Face à une équation $ax^2 + bx + c = 0$ :

1. Identifie $a$, $b$, $c$.
2. Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Regarde le signe de $\Delta$ pour savoir combien de solutions.
4. Applique la formule correspondante.
5. Vérifie en substituant dans l’équation initiale.

Erreurs classiques

1. Oublier le coefficient $a$ dans la formule des racines : c’est $2a$ au dénominateur, pas $2$.
2. Se tromper de signe de $b$ : dans la formule c’est $-b$, donc si $b = -5$, on écrit $-(-5) = +5$.
3. Calculer $\Delta$ sans les parenthèses quand $b$ est négatif : $(-3)^2 = 9$, pas $-9$.
4. Confondre équation et fonction : $ax^2 + bx + c = 0$ (équation) est un cas particulier de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Exercices corrigés

Exercice 1

Résous $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Voir le corrigé

$\Delta = 9 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$ $x_1 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2$ $x_2 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2}$

Exercice 2

Détermine le sommet de $f(x) = -x^2 + 4x + 1$.

Voir le corrigé

$\alpha = -\dfrac{4}{-2} = 2$ $\beta = -4 + 8 + 1 = 5$ Sommet : $S(2, 5)$. Comme $a = -1 < 0$, c’est un maximum.

Exercice 3 (raisonnement)

Pour quelle valeur de $m$ l’équation $x^2 - 2x + m = 0$ admet-elle une racine double ?

Voir le corrigé

Il faut $\Delta = 0$, soit $4 - 4m = 0$, donc $m = 1$.

À retenir

• $\Delta = b^2 - 4ac$ décide du nombre de racines.
• Sommet : $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
• Signe du trinôme : du signe de $a$ hors des racines.
• La parabole s’ouvre vers le haut si $a > 0$, vers le bas sinon.
• Forme canonique : $a(x - \alpha)^2 + \beta$ met le sommet en évidence.

Pour aller plus loin

• Astuces liées : Discriminant en 5 secondes, Factoriser un trinôme quand tu connais ses racines.
• Application : optimisation (trouver un maximum ou minimum).
• Suite naturelle : équations bicarrées $ax^4 + bx^2 + c = 0$ se ramènent au second degré par $X = x^2$.