الكسور: درس كامل (جمع، ضرب، مقارنة، اختصار)

ما هو الكسر؟

الكسر $\dfrac{a}{b}$ يعبّر عن نسبة بين عددَين. يُسمّى أيضًا الحاصل.

• $a$: البسط (فوق)
• $b$: المقام (تحت، يجب أن يكون $\neq 0$)

اختصار كسر

الكسر غير قابل للاختصار عندما $\gcd(a, b) = 1$.

للاختصار: اقسم البسط والمقام على قاسم مشترك.

مثال: $\dfrac{12}{18}$. $\gcd(12, 18) = 6$. نقسم على 6: $\dfrac{2}{3}$.

حيلة: اقسم على 2 ما أمكن، ثم 3، ثم 5، إلخ.

جمع (أو طرح) كسرَين

الخطوة 1: جد مقامًا مشتركًا. الخطوة 2: أعِد كتابة كل كسر بهذا المقام. الخطوة 3: اجمع البسوط. الخطوة 4: اختصر.

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$

مثال: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.

ضرب كسرَين

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

فوق × فوق، تحت × تحت. لا حاجة لمقام مشترك.

مثال: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}$.

حيلة: اختصر قبل الضرب إن أمكن.

قسمة كسرَين

القسمة على كسر = الضرب في مقلوبه.

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$

مثال: $\dfrac{3}{5} \div \dfrac{2}{7} = \dfrac{21}{10}$.

مقارنة كسرَين

الطريقة 1 (الجداء التبادلي): $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc$

الطريقة 2 (المقام المشترك): أعِد كتابتهما بنفس المقام، ثم قارن البسوط.

مثال: $\dfrac{3}{4}$ مقابل $\dfrac{5}{7}$. $3 \times 7 = 21 > 4 \times 5 = 20$. إذن $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{7}$.

من كسر إلى عدد عشري

كل كسر هو عدد عشري (منتهٍ أو دوري).

• $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$
• $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$
• $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ (دوري)

النسبة المئوية إلى كسر

$x\% = \dfrac{x}{100}$

مثال: $25\% = \dfrac{1}{4}$.

أخطاء شائعة

1. «الجمع بالتبادل»: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$. يجب المقام المشترك.
2. القسمة على 0: غير معرَّفة.
3. اختصار مجموع غير معمَّل: $\dfrac{2+3}{2+4}$ لا يُختصر.
4. نسيان الاختصار في النهاية.

للحفظ

• الجمع: مقام مشترك إلزامي.
• الضرب: فوق × فوق، تحت × تحت.
• القسمة: ضرب في المقلوب.
• المقارنة: جداء تبادلي أو مقام مشترك.
• اختصر دائمًا.

للمزيد

• حيل مرتبطة: جمع كسرَين بسرعة، تساوي الكسور.