Fractions : cours complet (addition, multiplication, comparaison, simplification)

Une fraction, c’est quoi ?

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ exprime le rapport entre deux nombres. On l’appelle aussi quotient.

• $a$ est le numérateur (en haut)
• $b$ est le dénominateur (en bas, doit être $\neq 0$)

Simplifier une fraction

Une fraction est irréductible quand le PGCD de $a$ et $b$ vaut $1$.

Pour simplifier : divise numérateur et dénominateur par un même nombre (un diviseur commun).

Exemple : $\dfrac{12}{18}$. PGCD(12, 18) = 6. On divise haut et bas par 6 : $\dfrac{2}{3}$.

Astuce : divise par 2 tant que possible, puis par 3, puis par 5, etc.

Additionner (ou soustraire) deux fractions

Étape 1 — Trouver un dénominateur commun (souvent le produit des deux, ou leur PPCM). Étape 2 — Convertir chaque fraction pour qu’elle ait ce dénominateur. Étape 3 — Additionner les numérateurs. Le dénominateur ne change pas. Étape 4 — Simplifier si possible.

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$

Exemple : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.

Multiplier deux fractions

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

On multiplie numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur. Aucune condition de dénominateur commun.

Exemple : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}$.

Astuce : simplifie AVANT de multiplier si possible. $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ → on remarque 3/9 = 1/3 et 4/8 = 1/2 → $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$.

Diviser deux fractions

Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$

Exemple : $\dfrac{3}{5} \div \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{2} = \dfrac{21}{10}$.

Comparer deux fractions

Méthode 1 (produit en croix) : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c$

Méthode 2 (dénominateur commun) : mettre les deux au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.

Exemple : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{7}$. $3 \times 7 = 21$ et $4 \times 5 = 20$. Comme $21 > 20$, $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{7}$.

Fraction et nombre décimal

Toute fraction correspond à un nombre décimal (fini ou périodique).

Exemples :

• $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$
• $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$
• $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ (périodique)
• $\dfrac{22}{7} \approx 3{,}142857\ldots$

Pour convertir décimal → fraction : $0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ (simplifie).

Fraction et pourcentage

$x\% = \dfrac{x}{100}$

Exemple : $25\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$.

Erreurs classiques

1. Additionner « en croix » : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{1+1}{2+3} = \dfrac{2}{5}$. NON ! Il faut le dénominateur commun.
2. Diviser par 0 : $\dfrac{a}{0}$ n’existe pas.
3. Simplifier une addition non factorisée : $\dfrac{2+3}{2+4}$ ne se simplifie pas comme $\dfrac{3}{4}$ ! On ne simplifie que quand le dénominateur et le numérateur sont des produits.
4. Oublier de simplifier à la fin.

À retenir

• Addition : dénominateur commun obligatoire.
• Multiplication : haut par haut, bas par bas, aucune condition.
• Division : multiplier par l’inverse.
• Comparaison : produit en croix ou dénominateur commun.
• Toujours simplifier à la fin.

Pour aller plus loin

• Astuces liées : Additionner deux fractions rapidement, Deux fractions égales : le produit en croix, Pourcentage vers décimal.
• Suite : fractions rationnelles et équations avec fractions (lycée).