المتتاليات العددية: درس كامل للثانوي | الثانوي

ما هي المتتالية؟

المتتالية العددية هي دالة $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ تربط بكل عدد صحيح $n$ عددًا حقيقيًا $u_n$ .

الترميز: $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ أو ببساطة $(u_n)$ .

صريحة: $u_n = f(n)$ . مثال: $u_n = 2n + 1$ .

تراجعية: $u_0$ معطى و $u_{n+1} = f(u_n)$ . مثال: $u_0 = 1$ ، $u_{n+1} = 2 u_n + 1$ .

الطريقة: ادرس إشارة $u_{n+1} - u_n$ ، أو (إذا $u_n > 0$ ) قارِن $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ بـ $1$ .

$u_{n+1} = u_n + r$ حيث $r$ هي الأساس.

الصيغة الصريحة: $u_n = u_0 + n \cdot r$ (أو $u_n = u_p + (n-p) \cdot r$ ).

المجموع: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}$ .

$u_{n+1} = q \cdot u_n$ حيث $q$ هي الأساس.

الصيغة الصريحة: $u_n = u_0 \cdot q^n$ (أو $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ ).

المجموع ( $q \neq 1$ ): $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

$(u_n)$ تتقارب نحو $\ell$ إذا اقتربت $u_n$ من $\ell$ عندما $n \to +\infty$ . نكتب $\lim u_n = \ell$ .
$(u_n)$ تتباعد نحو $+\infty$ إذا صارت $u_n$ كبيرة كيفما شئنا.

مبرهنة النهاية الرتيبة: كل متتالية متزايدة ومكبورة تتقارب. كل متتالية متناقصة ومصغورة تتقارب.

مبرهنة الحصر (شرطيّان): إذا $v_n \leq u_n \leq w_n$ و $v_n, w_n \to \ell$ ، فإنّ $u_n \to \ell$ .

لإثبات $P(n)$ صحيحة لكل $n \geq n_0$ :

الخلط بين المتتالية الصريحة والتراجعية.
القسمة على $u_n$ دون التحقّق من $u_n \neq 0$ في المتتاليات الهندسية.
نسيان الأساس في الاستدلال بالتراجع.
كتابة $\lim u_n \cdot v_n = \lim u_n \cdot \lim v_n$ دون التحقّق من الفرضيات ( $\infty \times 0$ غير محدَّد).