Suites numériques : cours complet (arithmétique, géométrique, limite, récurrence)

Qu’est-ce qu’une suite ?

Une suite numérique est une fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ qui à un entier $n$ associe un réel $u_n$.

Notations : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.

Deux façons de définir une suite

Explicite : $u_n = f(n)$. Exemple : $u_n = 2n + 1$.

Récurrente : $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemple : $u_0 = 1$, $u_{n+1} = 2 u_n + 1$.

Sens de variation

• $(u_n)$ croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$.
• $(u_n)$ décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$.
• $(u_n)$ constante si $u_{n+1} = u_n$.

Méthode : étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$, ou (si $u_n > 0$) comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.

Suites arithmétiques

$u_{n+1} = u_n + r$ où $r$ est la raison.

Formule explicite : $u_n = u_0 + n \cdot r$ (ou $u_n = u_p + (n-p) \cdot r$).

Somme : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}$.

Suites géométriques

$u_{n+1} = q \cdot u_n$ où $q$ est la raison.

Formule explicite : $u_n = u_0 \cdot q^n$ (ou $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$).

Somme ($q \neq 1$) : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Limite d’une suite

• $(u_n)$ converge vers $\ell$ si $u_n$ « s’approche » de $\ell$ quand $n \to +\infty$. On note $\lim u_n = \ell$.
• $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si $u_n$ devient arbitrairement grand.

Limites de référence

Suite	Limite
$1/n$	$0$
$q^n$ si $	q
$q^n$ si $q > 1$	$+\infty$
$q^n$ si $q \leq -1$	diverge sans limite
$\sqrt{n}$	$+\infty$

Théorèmes de convergence

Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème d’encadrement (gendarmes) : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $v_n, w_n \to \ell$, alors $u_n \to \ell$.

Raisonnement par récurrence

Pour montrer $P(n)$ vraie pour tout $n \geq n_0$ :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.

Erreurs classiques

1. Confondre suite explicite et récurrente.
2. Diviser par $u_n$ sans vérifier $u_n \neq 0$ dans les suites géométriques.
3. Oublier l’initialisation dans une récurrence.
4. Écrire $\lim u_n \cdot v_n = \lim u_n \cdot \lim v_n$ sans vérifier les hypothèses ($\infty \times 0$ est indéterminée).