المتّجهات: درس كامل وطرق | الثانوي

التعريف

يُحدَّد المتجه $\vec{AB}$ بثلاثة أشياء:

المتجهان اللذان لهما نفس الاتجاه والجهة والمعيار متساويان، حتى لو انطلقا من نقطتَين مختلفتَين.

في مُعلَّم $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ، إذا كان $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ :

$\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

انتبه: «الوصول ناقص الانطلاق»، وليس العكس.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

بالإحداثيات: نجمع مكوّنة بمكوّنة.

إذا كان $k \in \mathbb{R}$ و $\vec{u} = (x, y)$ : $k \vec{u} = (kx, ky)$

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

طول المتجه.

مثال: $\vec{u}(3, 4)$ ⇒ $\|\vec{u}\| = 5$ .

المتجهان $\vec{u}(x_1, y_1)$ و $\vec{v}(x_2, y_2)$ متوازيان إذا وفقط إذا:

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$

التطبيقات:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v$

أو: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)$

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

اختبار التعامد.

إذا كان $I$ منتصف $[AB]$ : $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

$A(1, 2)$ , $B(4, 6)$ , $C(7, 10)$ .

س1: هل هي على استقامة واحدة؟

$\vec{AB} = (3, 4)$ , $\vec{AC} = (6, 8)$ . $\det = 3 \times 8 - 6 \times 4 = 0$ . نعم.

س2: المسافة $AB$ .

$\|\vec{AB}\| = \sqrt{25} = 5$ .

س3: منتصف $M$ لـ $[AC]$ .

$M(4, 6)$ . لاحظ: $M = B$ !