Vecteurs : cours complet (coordonnées, colinéarité, produit scalaire)

Définition

Un vecteur $\vec{AB}$ est déterminé par trois données :

• Une direction (celle de la droite $(AB)$)
• Un sens (de $A$ vers $B$)
• Une norme (la longueur $AB$)

Deux vecteurs qui ont même direction, même sens et même norme sont égaux, même s’ils partent de points différents.

Coordonnées dans un repère

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors :

$\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Attention : « arrivée moins départ », pas l’inverse.

Opérations

Addition (relation de Chasles)

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

En coordonnées : on additionne composante par composante.

Multiplication par un scalaire

Si $k \in \mathbb{R}$ et $\vec{u} = (x, y)$ : $k \cdot \vec{u} = (kx, ky)$

• Si $k > 0$ : même sens, norme multipliée par $|k|$.
• Si $k < 0$ : sens opposé.
• Si $k = 0$ : vecteur nul.

Norme d’un vecteur

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

C’est la longueur du vecteur.

Exemple : $\vec{u}(3, 4)$ ⇒ $\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Colinéarité

Deux vecteurs $\vec{u}(x_1, y_1)$ et $\vec{v}(x_2, y_2)$ sont colinéaires ssi :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$

Applications :

• 3 points $A, B, C$ alignés ⇔ $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires.
• Deux droites parallèles ⇔ leurs vecteurs directeurs colinéaires.

Produit scalaire

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v$

Ou encore : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\theta)$

où $\theta$ est l’angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Propriété clé (orthogonalité)

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

C’est le test pour vérifier la perpendicularité de deux vecteurs.

Milieu d’un segment

Si $I$ est le milieu de $[AB]$ : $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \; ; \; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Vectoriellement : $\vec{AI} = \vec{IB}$, ou encore $I$ est tel que $\vec{OI} = \dfrac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$.

Exercice type

Soit $A(1, 2)$, $B(4, 6)$, $C(7, 10)$.

Question 1 : Ces points sont-ils alignés ?

• $\vec{AB} = (3, 4)$, $\vec{AC} = (6, 8)$.
• $\det = 3 \times 8 - 6 \times 4 = 0$. Colinéaires ⇒ alignés.

Question 2 : Calcule la distance $AB$.

$AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Question 3 : Coordonnées du milieu $M$ de $[AC]$.

$M(4, 6)$. Remarque : $M = B$ ! (les points sont alignés).

Erreurs classiques

1. Confondre coordonnées de point et de vecteur : $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$, PAS $(x_A - x_B)$.
2. Utiliser la pente pour tester la colinéarité : le déterminant est plus sûr (pas de division par zéro).
3. Additionner les normes : $\|\vec{u} + \vec{v}\| \neq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ en général.

À retenir

• Coordonnées vecteur : arrivée − départ.
• $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Colinéaires ⇔ $\det = 0$.
• Orthogonaux ⇔ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
• Milieu : moyenne des coordonnées.

Pour aller plus loin

• Astuces liées : Vecteurs colinéaires (test du déterminant), Produit scalaire (3 formules).
• Suite : le produit scalaire dans l’espace (Term).