المشتقّات: درس كامل مع المماس المتحرّك والصيغ الأساسية

الفكرة في جملة

المشتقة تقيس الميل المحلّي للدالة — كيف يتغيّر $f$ “بجوار” نقطة.

بعبارة أخرى: هي معامل توجيه المماس للمنحنى في تلك النقطة.

شاهد: المماس في العمل

حرّك المؤشّر لتحريك النقطة على المنحنى. المماس الأحمر يتبع، والميل يُعرَض مباشرة:

x₀ =1

Point

—

Pente de la tangente (nombre dérivé)

—

لاحظ:

• عند $x_0 < 0$ → الميل سالب (المنحنى ينزل)
• عند $x_0 = 0$ → الميل صفر (قعر القطع المكافئ)
• عند $x_0 > 0$ → الميل موجب (المنحنى يصعد)

الصلة بالصيغة: $f'(x) = 2x$. عند $x_0 = 1$ الميل = 2. عند $x_0 = -2$ الميل = $-4$.

التعريف الدقيق

العدد المشتق لـ $f$ عند $a$، يُرمز له $f'(a)$، هو النهاية (إن وُجدت):

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

الحاصل $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ يُسمّى معدل التغيّر بين $a$ و $a+h$: هو ميل الوتر بين النقطتين. عندما يصبح $h$ صغيرًا جدًّا، يميل الوتر إلى المماس.

معادلة المماس

المماس لمنحنى $f$ عند $x = a$ معادلته:

$y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$

مثال: لـ $f(x) = x^2$ عند $a = 3$:

• $f(3) = 9$
• $f'(3) = 6$
• المماس: $y = 6x - 9$.

صيغ المشتقات المعتادة

احفظها. كل شيء مبني عليها.

$f(x)$	$f'(x)$	المجال
$k$ (ثابت)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$	$\mathbb{R}$ (أو $\mathbb{R}^*$ إذا $n < 0$)
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$x \neq 0$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb{R}$

عمليات المشتقات

العملية	الصيغة
المجموع	$(u + v)' = u' + v'$
ثابت × دالة	$(k \cdot u)' = k \cdot u'$
الجداء	$(uv)' = u'v + uv'$
القسمة	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
التركيب	$(v \circ u)' = u' \cdot (v' \circ u)$

أمثلة

مثال 1 (مجموع): $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$

$f'(x) = 6x - 5$.

مثال 2 (جداء): $f(x) = x^2 \cdot e^x$

$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$.

مثال 3 (قسمة): $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$

$f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

مثال 4 (مركّبة): $f(x) = \sin(3x + 1)$

$f'(x) = 3 \cdot \cos(3x + 1)$.

تطبيقات أساسية

1. اتّجاه تغيّر دالة

$f' > 0$ على مجال ⇒ $f$ متزايدة. $f' < 0$ ⇒ متناقصة. $f' = 0$ في نقطة معزولة ⇒ نهاية محلّية (تُؤكَّد بجدول الإشارة).

2. بحث نهاية محلّية

$f(x) = -x^2 + 4x + 1$.

• $f'(x) = -2x + 4$.
• $f' = 0 \iff x = 2$.
• تغيّر الإشارة (+ ثم −) → نهاية عظمى عند 2، قيمة $f(2) = 5$.

3. معادلة المماس

انظر أعلاه.

أخطاء شائعة

1. نسيان $u'$ في المركّبة: $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$، وليس $\cos(2x)$.
2. الخلط بين الجداء والتركيب.
3. الإشارة في القسمة: $u'v - uv'$ (ناقص).
4. مشتقة ثابت = 0، وليس الثابت نفسه.

تمارين محلولة

تمرين 1

احسب مشتقة $f(x) = (x^2 + 1)^3$.

عرض الحل

مركّبة: $u = x^2 + 1$، $u' = 2x$. الخارجية: $v(x) = x^3$، $v'(x) = 3x^2$. $f'(x) = 2x \cdot 3(x^2 + 1)^2 = 6x(x^2 + 1)^2$.

تمرين 2

جِد معادلة المماس لـ $f(x) = e^x$ عند $x = 0$.

عرض الحل

$f(0) = 1$، $f'(0) = 1$. المماس: $y = x + 1$.

تمرين 3

ادرس تغيّرات $f(x) = x^3 - 3x + 2$ على $\mathbb{R}$.

عرض الحل

$f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. موجب عند $x < -1$، سالب على $(-1, 1)$، موجب عند $x > 1$. إذن $f$ متزايدة على $(-\infty, -1]$، متناقصة على $[-1, 1]$، متزايدة على $[1, +\infty)$. نهاية عظمى محلّية عند $-1$: $f(-1) = 4$. نهاية صغرى محلّية عند $1$: $f(1) = 0$.

للحفظ

• $f'(a)$ = ميل المماس عند $a$.
• المماس: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• اتّجاه التغيّر = إشارة المشتقة.
• نهاية محلّية ⇒ $f' = 0$ (والعكس ليس صحيحًا دائمًا).
• احفظ 9 صيغ معتادة و 5 عمليات.

للمزيد

• حيل مرتبطة: 8 مشتقات للحفظ، مشتقة الدالة المركّبة، مشتقة الجداء.
• التالي: الدوال الأصلية / التكامل (العملية العكسية).
• التطبيقات: الأمثلة، الحركة (السرعة = مشتقة الموضع).