Dérivées : cours complet avec tangente animée et formules à connaître

L’idée en une phrase

La dérivée d’une fonction en un point mesure sa pente locale — comment $f$ varie « juste à côté » de ce point.

Autrement dit : c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe.

Visualise-le : la tangente en action

Fais glisser le curseur pour bouger le point sur la courbe. La tangente rouge suit, et sa pente s’affiche en direct :

x₀ =1

Point

—

Pente de la tangente (nombre dérivé)

—

Observations à faire :

• Quand $x_0$ est à gauche de 0 → la pente est négative (la courbe descend)
• Quand $x_0 = 0$ → la pente est nulle (minimum de la parabole)
• Quand $x_0$ est à droite → la pente est positive (la courbe monte)

Et le lien avec la formule : $f'(x) = 2x$ (dérivée de $x^2$). Vérifie : à $x_0 = 1$, la pente affichée est 2. À $x_0 = -2$, elle est $-4$.

Définition rigoureuse

Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite (si elle existe) :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Le quotient $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ s’appelle le taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ : c’est la pente de la corde entre ces deux points. Quand $h$ devient minuscule, la corde tend vers la tangente.

L’équation de la tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation :

$y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$

Exemple : Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$ :

• $f(3) = 9$
• $f'(3) = 6$
• Tangente : $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.

Formules des dérivées usuelles

Ces formules doivent être connues par cœur. C’est la base de tout.

$f(x)$	$f'(x)$	Domaine
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$)	$n \cdot x^{n-1}$	$\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$)
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\mathbb{R}_+^*$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R}_+^*$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Quand la fonction est une combinaison, on utilise :

Opération	Formule
Somme	$(u + v)' = u' + v'$
Constante × fonction	$(k \cdot u)' = k \cdot u'$
Produit	$(uv)' = u'v + uv'$
Quotient	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Composée	$(v \circ u)' = u' \cdot (v' \circ u)$

Exemples

Exemple 1 (somme) : $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$

$f'(x) = 3 \cdot 2x - 5 + 0 = 6x - 5$.

Exemple 2 (produit) : $f(x) = x^2 \cdot e^x$

$u = x^2$, $u' = 2x$. $v = e^x$, $v' = e^x$. $f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$.

Exemple 3 (quotient) : $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$

$u = x$, $u' = 1$. $v = x^2 + 1$, $v' = 2x$. $f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

Exemple 4 (composée) : $f(x) = \sin(3x + 1)$

$u = 3x + 1$, $u' = 3$. Dérivée « extérieure » de $\sin$ = $\cos$. $f'(x) = 3 \cdot \cos(3x + 1)$.

Applications essentielles

1. Variations d’une fonction

Si $f' > 0$ sur un intervalle, $f$ est croissante. Si $f' < 0$, $f$ est décroissante. Si $f' = 0$ en un point isolé, il y a un extremum local (à confirmer par le tableau de signe).

2. Recherche d’un extremum

$f(x) = -x^2 + 4x + 1$.

• $f'(x) = -2x + 4$.
• $f'(x) = 0 \iff x = 2$.
• $f'$ change de signe (positif avant, négatif après) → maximum en 2, valeur $f(2) = 5$.

3. Équation de tangente

Cf. plus haut, section « équation de la tangente ».

Erreurs classiques

1. Oublier $u'$ dans la dérivée d’une composée : $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$, PAS $\cos(2x)$.
2. Confondre produit et composée : $(uv)' = u'v + uv'$ mais $(v(u))' = u' \cdot v'(u)$.
3. Signe dans la formule du quotient : c’est $u'v - uv'$ (minus), pas plus.
4. Dériver une constante : la dérivée d’une constante est 0, pas la constante elle-même.

Exercices corrigés

Exercice 1

Calcule la dérivée de $f(x) = (x^2 + 1)^3$.

Voir le corrigé

Composée : $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$. Fonction extérieure : $v(x) = x^3$, $v'(x) = 3x^2$. $f'(x) = u' \cdot v'(u) = 2x \cdot 3(x^2 + 1)^2 = 6x(x^2 + 1)^2$.

Exercice 2

Détermine l’équation de la tangente à $f(x) = e^x$ en $x = 0$.

Voir le corrigé

$f(0) = 1$, $f'(0) = e^0 = 1$. Tangente : $y = 1 \cdot (x - 0) + 1 = x + 1$.

Exercice 3

Étudie les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$.

Voir le corrigé

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. Signe : positif pour $x < -1$, négatif entre $-1$ et $1$, positif pour $x > 1$. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty, -1]$, décroissante sur $[-1, 1]$, croissante sur $[1, +\infty[$. Maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = 4$. Minimum local en $x = 1$ : $f(1) = 0$.

À retenir

• $f'(a)$ = pente de la tangente en $a$.
• Tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• Sens de variation = signe de la dérivée.
• Extremum local ⇒ $f'$ s’annule (mais l’inverse n’est pas toujours vrai).
• Bien retenir les 9 formules usuelles et les 5 opérations.

Pour aller plus loin

• Astuces liées : Les 8 dérivées à connaître par cœur, Dérivée d’une composée, Dérivée d’un produit.
• Suite : intégrales (les primitives sont l’opération inverse).
• Applications : optimisation en économie, mécanique (vitesse = dérivée de la position).