حساب المثلثات: درس كامل (الدائرة المثلثية، sin، cos، tan، الصيغ)

الدائرة المثلثية

الدائرة المثلثية هي الدائرة ذات المركز $O$ ونصف القطر $1$ في معلم متعامد ممنظم.

للعدد الحقيقي $x$، نربط نقطة $M$ على الدائرة بحيث تكون طول القوس من $(1, 0)$ يساوي $x$ (في الاتجاه المثلثي = عكس عقارب الساعة).

• $\cos(x)$ = الفاصلة لـ $M$
• $\sin(x)$ = الترتيب لـ $M$
• $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (معرَّف إذا $\cos(x) \neq 0$)

قيم مميّزة يجب حفظها

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos(x)$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$
$\sin(x)$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$
$\tan(x)$	$0$	$\sqrt{3}/3$	$1$	$\sqrt{3}$	∞

تلميح للحفظ: $\cos$ يتناقص، $\sin$ يتزايد على $[0, \pi/2]$.

الخواص الأساسية

الدورية

$\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin(x)$

دور $\tan$ هو $\pi$: $\tan(x + \pi) = \tan(x)$.

الشفعية

$\cos(-x) = \cos(x) \quad \text{(زوجية)}$ $\sin(-x) = -\sin(x) \quad \text{(فردية)}$

علاقة فيثاغورس

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

الزوايا المرتبطة

الزاوية	$\cos$	$\sin$
$\pi - x$	$-\cos(x)$	$\sin(x)$
$\pi + x$	$-\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\pi/2 - x$	$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\pi/2 + x$	$-\sin(x)$	$\cos(x)$

صيغ الجمع

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

صيغ الزاوية المضاعفة

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$ $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$

حل $\cos(x) = a$ و $\sin(x) = a$

$\cos(x) = a$: الحلول $x = \pm \alpha + 2k\pi$ حيث $\alpha = \arccos(a)$.

$\sin(x) = a$: الحلول $x = \alpha + 2k\pi$ أو $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.

الدالتان $x \mapsto \cos(x)$ و $x \mapsto \sin(x)$

• معرَّفتان على $\mathbb{R}$
• دوريتان بدور $2\pi$
• قيمهما في $[-1, 1]$
• $\cos$ زوجية، $\sin$ فردية

أخطاء شائعة

1. نسيان $+2k\pi$ في حلول المعادلات.
2. الخلط بين $\cos(a+b)$ و $\cos(a) + \cos(b)$: خطأ!
3. نسيان $\cos^2 + \sin^2 = 1$ لحذف متغيّر.
4. أخطاء في الإشارة في $\cos(\pi - x)$ مقابل $\cos(\pi + x)$.