Trigonométrie : cours complet (cercle, sin, cos, tan, formules)

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé.

À un réel $x$, on associe un point $M$ sur le cercle tel que la longueur d’arc parcourue depuis $(1, 0)$ vaut $x$ (dans le sens trigonométrique = sens inverse des aiguilles).

• $\cos(x)$ = abscisse de $M$
• $\sin(x)$ = ordonnée de $M$
• $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (défini si $\cos(x) \neq 0$)

Valeurs remarquables à connaître

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos(x)$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$
$\sin(x)$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$
$\tan(x)$	$0$	$\sqrt{3}/3$	$1$	$\sqrt{3}$	∞

Astuce mnémotechnique : $\cos$ décroît, $\sin$ croît sur $[0, \pi/2]$.

Propriétés fondamentales

Périodicité

$\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin(x)$

$\tan$ a pour période $\pi$ : $\tan(x + \pi) = \tan(x)$.

Parité

$\cos(-x) = \cos(x) \quad \text{(paire)}$ $\sin(-x) = -\sin(x) \quad \text{(impaire)}$

Relation de Pythagore

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

Angles associés

Angle	$\cos$	$\sin$
$\pi - x$	$-\cos(x)$	$\sin(x)$
$\pi + x$	$-\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\pi/2 - x$	$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\pi/2 + x$	$-\sin(x)$	$\cos(x)$

Formules d’addition (1ère spé)

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

Formules de duplication

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$ $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$

Résoudre $\cos(x) = a$ et $\sin(x) = a$

$\cos(x) = a$ : solutions $x = \pm \alpha + 2k\pi$ où $\alpha = \arccos(a)$.

$\sin(x) = a$ : solutions $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.

Fonctions $x \mapsto \cos(x)$ et $x \mapsto \sin(x)$

• Définies sur $\mathbb{R}$
• Périodiques de période $2\pi$
• Valeurs dans $[-1, 1]$
• $\cos$ paire, $\sin$ impaire

Erreurs classiques

1. Oublier $+2k\pi$ dans les solutions d’équation.
2. Confondre $\cos(a+b)$ et $\cos(a) + \cos(b)$ : c’est faux !
3. Oublier $\cos^2 + \sin^2 = 1$ pour éliminer une variable.
4. Se tromper de signe dans $\cos(\pi - x)$ vs $\cos(\pi + x)$.