نظرية فيثاغورس: درس كامل مع البراهين والتمارين المحلولة

في جملة واحدة

في المثلث القائم الزاوية، مربّع الوتر يساوي مجموع مربّعَي الضلعين الآخرين.

هذه على الأرجح أشهر نظرية هندسية في العالم: تسمح بحساب طول أي ضلع متى عرفنا طولَي الضلعين الآخرين في مثلث قائم، دون الحاجة إلى قياس.

النص الرسمي

ليكن ABC مثلثًا قائم الزاوية في A. نرمز:

• a = BC (الوتر — الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا الأطول)
• b = AC
• c = AB

عندها: $a^2 = b^2 + c^2$

أو بصياغة أخرى: $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$

لماذا هذا صحيح؟ برهانان

1. البرهان البصري (بالمساحات)

انشئ مربّعًا طول ضلعه $(a+b)$. يمكن ملؤه من الداخل بطريقتين:

الطريقة 1: 4 مثلثات قائمة الزاوية متطابقة + مربّع في الوسط طول ضلعه c (الوتر). المساحة الكلية = $4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2$

الطريقة 2: 4 مثلثات قائمة الزاوية متطابقة + مربّعان، أحدهما طول ضلعه a والآخر b. المساحة الكلية = $4 \times \frac{ab}{2} + a^2 + b^2 = 2ab + a^2 + b^2$

المساحتان متساويتان (فهما نفس المربّع الكبير): $2ab + c^2 = 2ab + a^2 + b^2$

بعد التبسيط: $c^2 = a^2 + b^2$

المطلوب.

2. البرهان بالارتفاع

ارسم الارتفاع النازل من الزاوية القائمة. يقسم المثلث إلى مثلّثَين قائمَين أصغر، كلاهما مشابه للمثلث الكبير.

سمِّ هذا الارتفاع h، والقطعتَين اللتَين يقسمهما على الوتر p, q (حيث $p + q = a$).

من التشابه: $\frac{b}{a} = \frac{q}{b} \quad \text{و} \quad \frac{c}{a} = \frac{p}{c}$

إذن $b^2 = aq$ و $c^2 = ap$. بالجمع: $b^2 + c^2 = a(p + q) = a \cdot a = a^2$

المطلوب.

النظرية العكسية (مهمّة جدًّا في الإعدادي)

النظرية العكسية تسمح بـ إثبات أنّ مثلثًا قائم الزاوية:

إذا كان في مثلث مربّع أطول ضلع يساوي مجموع مربّعَي الضلعين الآخرين، فإنّ هذا المثلث قائم الزاوية (والزاوية القائمة مقابلة للضلع الأطول).

مثال: مثلث أضلاعه 6 و8 و10. هل هو قائم؟

$10^2 = 100$ و $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

المساواة محقّقة ⇒ المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة مقابلة للضلع 10.

الطريقة خطوة بخطوة (لحساب طول مجهول)

الخطوة 1: تأكّد أنّ المثلث قائم (المُعطى يقول ذلك، أو الشكل يوضّحه).

الخطوة 2: حدِّد الوتر — الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الخطوة 3: اكتب مساواة فيثاغورس بالأطوال الفعلية.

الخطوة 4: اعزل المجهول.

الخطوة 5: احسب، ثم خذ الجذر التربيعي.

مثال نموذجي 1 — إيجاد الوتر

مثلث قائم في A، مع AB = 3 سم و AC = 4 سم. احسب BC.

• الوتر: BC (المقابل للزاوية القائمة A).
• $\text{BC}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
• $\text{BC} = \sqrt{25} = 5$ سم.

مثال نموذجي 2 — إيجاد أحد ضلعَي الزاوية القائمة

مثلث قائم في A، مع BC = 13 سم و AB = 5 سم. احسب AC.

• الوتر هنا هو BC (مُعطى)، ونبحث عن أحد الضلعين الصغيرين.
• $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$
• $13^2 = 5^2 + \text{AC}^2$
• $169 = 25 + \text{AC}^2$
• $\text{AC}^2 = 144$
• $\text{AC} = 12$ سم.

الثلاثيات الفيثاغورسية للحفظ

ثلاثيات أعداد صحيحة $(a, b, c)$ تحقّق $a^2 + b^2 = c^2$:

الثلاثية	التحقّق
(3, 4, 5)	9 + 16 = 25
(5, 12, 13)	25 + 144 = 169
(8, 15, 17)	64 + 225 = 289
(7, 24, 25)	49 + 576 = 625
(20, 21, 29)	400 + 441 = 841

معرفة الثلاثيات توفّر الوقت في الفروض: حين ترى 5-12-؟ تعرف مباشرةً أنّ ؟ = 13.

أخطاء شائعة يجب تجنّبها

1. الخلط بين الوتر والضلع: الوتر دائمًا الأطول، دائمًا مقابل الزاوية القائمة.
2. الجمع بلا تربيع: $\text{BC} \neq \text{AB} + \text{AC}$. فيثاغورس لا تُقرأ بالأطوال بل بمربّعات الأطوال.
3. نسيان الجذر التربيعي في النهاية: إذا كان $\text{BC}^2 = 25$ فإنّ $\text{BC} = 5$ وليس 25.
4. تطبيق فيثاغورس على مثلث غير قائم: النظرية تعمل فقط في المثلث القائم. للمثلث العام نستعمل قانون التجيب.

تمارين محلولة

تمرين 1 (سهل)

مثلث قائم في R مع RA = 8 و RB = 6. احسب AB.

عرض الحل

AB هو الوتر. $\text{AB}^2 = 64 + 36 = 100$ $\text{AB} = 10$

تمرين 2 (متوسّط)

سلّم طوله 5 م مسنَد إلى جدار، وقدمه تبعد 3 م عن الجدار. إلى أيّ ارتفاع يصل السلّم على الجدار؟

عرض الحل

النمذجة: مثلث قائم، الوتر = 5 م (السلّم)، ضلع = 3 م (على الأرض)، نبحث عن الضلع الآخر (الارتفاع). $5^2 = 3^2 + h^2$ $h^2 = 16$ $h = 4$ م

تمرين 3 (استعمال النظرية العكسية)

مثلث أضلاعه 9 و12 و15. هل هو قائم؟

عرض الحل

أطول ضلع هو 15. $15^2 = 225$ $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ تحقّقت المساواة ⇒ المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة مقابلة للضلع 15.

ملاحظة: هي الثلاثية (3, 4, 5) مضروبة في 3.

تمرين 4 (قيمة مضبوطة)

مثلث قائم في A مع AB = 5 سم و AC = 5 سم. احسب BC بقيمة مضبوطة.

عرض الحل

$\text{BC}^2 = 50$ $\text{BC} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ سم.

هذا هو قطر مربّع طول ضلعه 5 — حالة شائعة جدًّا.

للحفظ

• فيثاغورس لا تعمل إلا في المثلث القائم.
• الوتر هو أطول ضلع، مقابل الزاوية القائمة.
• المساواة تُكتب بـ المربّعات لا بالأطوال المباشرة.
• النظرية العكسية تُثبت أنّ مثلثًا قائم.
• احفظ الثلاثيات 3-4-5 و 5-12-13 و 8-15-17.

للمزيد

• قانون التجيب يعمّم فيثاغورس على أي مثلث: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$.
• المتطابقة $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ هي فيثاغورس على الدائرة المثلثية.
• في الفضاء (3 أبعاد)، المسافة هي فيثاغورس مزدوجة: $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.