Théorème de Pythagore : cours complet et exercices corrigés | Collège

En une phrase

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

C’est probablement le théorème de géométrie le plus utilisé au monde : il permet de calculer une longueur dès qu’on connaît deux longueurs d’un triangle rectangle, sans avoir à mesurer.

Énoncé formel

Soit un triangle ABC rectangle en A. On note :

a = BC (l’hypoténuse — le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long)
b = AC
c = AB

Alors : $a^2 = b^2 + c^2$

Ou dit autrement : $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$

Pourquoi c’est vrai ? Deux démonstrations

1. La démonstration visuelle (par les aires)

Construis un carré de côté $(a+b)$ . À l’intérieur, on peut le remplir de deux façons :

Façon 1 : 4 triangles rectangles identiques + un carré au milieu de côté c (l’hypoténuse). Aire totale = $4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2$

Façon 2 : 4 triangles rectangles identiques + 2 carrés, l’un de côté a, l’autre de côté b. Aire totale = $4 \times \frac{ab}{2} + a^2 + b^2 = 2ab + a^2 + b^2$

Les deux aires sont égales (c’est le même carré) : $2ab + c^2 = 2ab + a^2 + b^2$

Soit après simplification : $c^2 = a^2 + b^2$

C.Q.F.D.

2. La démonstration par la hauteur

Trace la hauteur issue de l’angle droit. Elle partage le triangle en deux petits triangles rectangles, tous les deux semblables au grand.

Notons h cette hauteur, et p, q les segments qu’elle découpe sur l’hypoténuse (donc $p + q = a$ ).

Par similarité : $\frac{b}{a} = \frac{q}{b} \quad \text{et} \quad \frac{c}{a} = \frac{p}{c}$

Donc $b^2 = aq$ et $c^2 = ap$ . En additionnant : $b^2 + c^2 = a(p + q) = a \cdot a = a^2$

C.Q.F.D.

La réciproque (essentielle au collège)

La réciproque du théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle :

Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (et son angle droit est opposé au plus grand côté).

Exemple : Un triangle a pour côtés 6, 8 et 10. Est-il rectangle ?

$10^2 = 100$ et $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .

Égalité vérifiée ⇒ le triangle est rectangle, avec l’angle droit opposé au côté de longueur 10.

Méthode pas à pas (calcul d’une longueur manquante)

Étape 1 : Vérifier que le triangle est rectangle (l’énoncé le dit, ou le codage le montre).

Étape 2 : Identifier l’hypoténuse — le côté opposé à l’angle droit.

Étape 3 : Écrire l’égalité de Pythagore avec les vraies longueurs.

Étape 4 : Isoler l’inconnue.

Étape 5 : Calculer, puis prendre la racine carrée.

Exemple type 1 — Trouver l’hypoténuse

Triangle rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule BC.

Hypoténuse : BC (opposée à l’angle droit A).
$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$\text{BC} = \sqrt{25} = 5$ cm.

Exemple type 2 — Trouver un côté de l’angle droit

Triangle rectangle en A, avec BC = 13 cm et AB = 5 cm. Calcule AC.

Ici l’hypoténuse est BC (donnée), on cherche un des petits côtés.
$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$
$13^2 = 5^2 + \text{AC}^2$
$169 = 25 + \text{AC}^2$
$\text{AC}^2 = 169 - 25 = 144$
$\text{AC} = \sqrt{144} = 12$ cm.

Les triplets pythagoriciens à connaître

Ce sont des trios $(a, b, c)$ d’entiers qui vérifient $a^2 + b^2 = c^2$ :

Triplet	Vérification
(3, 4, 5)	9 + 16 = 25
(5, 12, 13)	25 + 144 = 169
(8, 15, 17)	64 + 225 = 289
(7, 24, 25)	49 + 576 = 625
(20, 21, 29)	400 + 441 = 841

Reconnaître un triplet fait gagner du temps en contrôle : dès que tu vois 5-12-?, tu sais que ? = 13.

Erreurs classiques à éviter

Confondre hypoténuse et côté : l’hypoténuse est toujours le plus long, toujours opposée à l’angle droit.
Additionner sans mettre au carré : $\text{BC} \neq \text{AB} + \text{AC}$ . Pythagore ne se lit pas avec les longueurs, mais avec les carrés des longueurs.
Oublier la racine carrée à la fin : si $\text{BC}^2 = 25$ , alors $\text{BC} = 5$ , pas 25.
Utiliser Pythagore sur un triangle non rectangle : le théorème ne fonctionne que dans un triangle rectangle. Sur un triangle quelconque, il faut la loi des cosinus.

Exercices corrigés

Exercice 1 (facile)

Un triangle est rectangle en R avec RA = 8 et RB = 6. Calcule AB.

Voir le corrigé

AB est l’hypoténuse. $\text{AB}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $\text{AB} = 10$

Exercice 2 (moyen)

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur, son pied est à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Voir le corrigé

Modélisation : triangle rectangle avec hypoténuse 5 m (l’échelle), un côté 3 m (au sol), on cherche l’autre (hauteur). $5^2 = 3^2 + h^2$ $25 = 9 + h^2$ $h^2 = 16$ $h = 4$ m

Exercice 3 (utiliser la réciproque)

Un triangle a pour côtés 9, 12 et 15. Est-il rectangle ?

Voir le corrigé

Le plus grand côté est 15. $15^2 = 225$ $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ Égalité ⇒ le triangle est rectangle, l’angle droit étant opposé au côté 15.

Remarque : c’est le triplet (3, 4, 5) multiplié par 3.

Exercice 4 (calcul avec racine)

Triangle rectangle en A, AB = 5 cm et AC = 5 cm. Calcule BC en valeur exacte.

Voir le corrigé

$\text{BC}^2 = 25 + 25 = 50$ $\text{BC} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ cm.

C’est la diagonale d’un carré de côté 5 — un cas très fréquent.

À retenir

Pythagore ne fonctionne que dans un triangle rectangle.
L’hypoténuse est le plus long côté, en face de l’angle droit.
L’égalité s’écrit avec des carrés, pas avec les longueurs directes.
La réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle.
Connais par cœur les triplets 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

Pour aller plus loin

La loi des cosinus généralise Pythagore aux triangles non rectangles : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$ .
L’identité trigonométrique $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ est Pythagore appliqué au cercle trigonométrique.
En dimension 3, la distance dans l’espace est un double Pythagore : $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .