قانون ذي الحدَّين: درس كامل (تجربة برنولي، الصيغة، الأمل)

تجربة برنولي

تجربة برنولي هي تجربة عشوائية بـ نتيجتَين:

• «نجاح» باحتمال $p$.
• «فشل» باحتمال $q = 1 - p$.

أمثلة: قذف قطعة نقدية، سحب بطاقة (حمراء أو سوداء)، اختبار جهاز.

مخطّط برنولي

$n$ تجارب برنولي:

• متماثلة (نفس $p$).
• مستقلّة.

نسمّي $X$ المتغيّرة العشوائية التي تعدّ عدد النجاحات. حينها $X$ تتّبع قانون ذي الحدَّين بمعاملَي $n$ و $p$: $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.

صيغة قانون ذي الحدَّين

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

لـ $k = 0, 1, 2, \ldots, n$.

التفسير:

• $\binom{n}{k}$: عدد طرق الحصول على $k$ نجاحات بين $n$ مواقع.
• $p^k$: احتمال $k$ نجاحات.
• $(1-p)^{n-k}$: احتمال $n-k$ فشل.

الأمل والتباين

$E(X) = n \cdot p$

$V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

$\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

المعنى: في $n$ محاولات باحتمال نجاح $p$، نتوقّع $np$ نجاحًا.

مثال نموذجي

نقذف قطعة عادلة 10 مرات. احتمال الحصول على 3 صور تحديدًا؟

$X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}5)$، $k = 3$.

$P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} \approx 0{,}117$

التراكم: $P(X \leq k)$

للمتراجحة، نجمع:

$P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k)$

لـ $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ (المتمّم).

التمثيل البياني

مخطّط بأعمدة: ارتفاع = $P(X = k)$. متناظر إذا $p = 0{,}5$، مائل خلاف ذلك.

حالات خاصة

• $n = 1$: $X$ متغيّرة برنولي ($X \in \{0, 1\}$). $E(X) = p$، $V(X) = p(1-p)$.
• $p = 0$: $X = 0$ دائمًا.
• $p = 1$: $X = n$ دائمًا.

تطبيق: تقريب طبيعي

عندما تكون $n$ كبيرة و $p$ ليست قرب $0$ أو $1$، يقترب قانون ذي الحدَّين من القانون الطبيعي بمتوسّط $np$ وانحراف معياري $\sqrt{np(1-p)}$.

أخطاء شائعة

1. نسيان استقلال التجارب.
2. كتابة $E(X) = p$ بدل $np$.
3. الخلط بين $\binom{n}{k}$ و $n^k$ في الصيغة.
4. استعمال قانون ذي الحدَّين والتجارب غير متماثلة (مثل السحب بلا إحلال = قانون هندسي فائق).