Loi binomiale : cours complet (schéma de Bernoulli, formule, espérance)

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à 2 issues :

• « Succès » avec probabilité $p$.
• « Échec » avec probabilité $q = 1 - p$.

Exemples : lancer une pièce (pile ou face), tirer une carte (rouge ou noire), tester si un objet marche.

Schéma de Bernoulli

$n$ épreuves de Bernoulli :

• Identiques (même $p$).
• Indépendantes.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. Alors $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.

Formule de la loi binomiale

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

pour $k = 0, 1, 2, \ldots, n$.

Interprétation :

• $\binom{n}{k}$ : nombre de façons d’obtenir $k$ succès parmi $n$ places.
• $p^k$ : probabilité d’avoir $k$ succès.
• $(1-p)^{n-k}$ : probabilité d’avoir $n-k$ échecs.

Espérance et variance

$E(X) = n \cdot p$

$V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

$\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

Interprétation : sur $n$ essais avec proba de succès $p$, on s’attend à $np$ succès.

Exemple type

On lance 10 fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir exactement 3 piles ?

$X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}5)$, $k = 3$.

$P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times 0{,}5^{10} \approx 0{,}117$

Cumul : $P(X \leq k)$

Pour une inégalité, on additionne :

$P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k)$

Pour $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ (complémentaire).

Représentation graphique

Diagramme en bâtons : hauteur = $P(X = k)$. Symétrique si $p = 0{,}5$, décalée sinon.

Cas particuliers

• $n = 1$ : $X$ est une variable de Bernoulli ($X \in \{0, 1\}$). $E(X) = p$, $V(X) = p(1-p)$.
• $p = 0$ : $X = 0$ toujours.
• $p = 1$ : $X = n$ toujours.

Application : intervalles de confiance

Pour $n$ grand et $p$ pas trop proche de $0$ ou $1$, la loi binomiale se rapproche d’une loi normale de moyenne $np$ et d’écart-type $\sqrt{np(1-p)}$.

Erreurs classiques

1. Oublier l’indépendance des épreuves.
2. Écrire $E(X) = p$ au lieu de $np$.
3. Confondre $\binom{n}{k}$ et $n^k$ dans la formule.
4. Utiliser la loi binomiale sans que les épreuves soient identiques (par exemple tirages sans remise = loi hypergéométrique).