Les 5 propriétés du logarithme à savoir à 100 %

Les 5 formules à mémoriser

Pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{R}$ :

1. $\ln(a \times b) = \ln a + \ln b$ (produit → somme)
2. $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ (quotient → différence)
3. $\ln(a^n) = n \ln a$ (puissance → coefficient)
4. $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2} \ln a$
5. $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$

Le geste-clé

Devant $\ln(\text{gros truc})$, cherche à décomposer ce qu’il y a à l’intérieur en produit, quotient ou puissance, puis applique les formules.

Un exemple

$\ln\!\left(\dfrac{e^3 \times 5}{2}\right) = \ln(e^3) + \ln 5 - \ln 2 = 3 + \ln 5 - \ln 2$.

Résoudre $\ln x = 2$

Applique l’exponentielle aux deux côtés : $x = e^2 \approx 7{,}39$.

Règle : $\ln$ et $\exp$ sont réciproques. $\ln(e^x) = x$, $e^{\ln x} = x$ (pour $x > 0$).

Attention !

$\ln(a + b) \ne \ln a + \ln b$. Le log ne transforme pas les sommes en produits, seulement les produits en sommes. Piège très fréquent.