المصفوفات: الجمع والضرب والمنقولة

الجمع: نفس البعد

$A + B$ له معنى فقط إذا كانت $A$ و $B$ من نفس البعد. نجمع معاملًا معاملًا.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

الخواص: تبديلية، تجميعية، العنصر المحايد $0$ (المصفوفة الصفرية).

الضرب في عدد

$\lambda A$: اضرب كل معامل في $\lambda$.

$3 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

جداء المصفوفات: أبعاد متوافقة

$A \times B$ له معنى إذا وفقط إذا عدد أعمدة $A$ = عدد أسطر $B$.

إذا كانت $A$ من البعد $(n, p)$ و $B$ من البعد $(p, q)$، فإنّ $AB$ من البعد $(n, q)$.

الصيغة: $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$ (السطر $i$ من $A$ × العمود $j$ من $B$).

مثال $(2,2) \times (2,2)$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

التفصيل: $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$، $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$، إلخ.

⚠️ عدم التبديلية

$AB \neq BA$ عمومًا! حتى عندما يوجد كلا الجداءَين.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

المنقولة: $A^T$

نبادل الأسطر والأعمدة. إذا كانت $A$ من البعد $(n, p)$، $A^T$ من البعد $(p, n)$.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

الخواص:

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\lambda A)^T = \lambda A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (بترتيب معكوس!)
• $(A^T)^T = A$

أخطاء شائعة

1. جمع $A(2,3) + B(3,2)$: أبعاد مختلفة، مستحيل.
2. كتابة $AB = BA$: خطأ إلا في حالات خاصة.
3. $(AB)^T = A^T B^T$: لا، بل $B^T A^T$.
4. نسيان سطر × عمود في جداء المصفوفات.

?À toi de jouer

A من البعد (3, 2) و B من البعد (2, 4). بُعد AB؟

A.(3, 4)B.(2, 2)C.(4, 3)D.مستحيل

Valider