Matrices : addition, multiplication, transposée

Addition : même dimension

$A + B$ n’a de sens que si $A$ et $B$ ont la même dimension. On additionne coefficient par coefficient.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

Propriétés : commutative, associative, élément neutre $0$ (matrice nulle).

Multiplication par un scalaire

$\lambda A$ : multiplier chaque coefficient par $\lambda$.

$3 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

Produit matriciel : dimensions compatibles

$A \times B$ a un sens ssi nb colonnes de $A$ = nb lignes de $B$.

Si $A$ est $(n, p)$ et $B$ est $(p, q)$, alors $AB$ est $(n, q)$.

Formule : $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$ (ligne $i$ de $A$ × colonne $j$ de $B$).

Exemple $(2,2) \times (2,2)$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Détail : $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$, etc.

⚠️ Non-commutativité

$AB \neq BA$ en général ! Même quand les deux produits existent.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Transposée : $A^T$ (ou $^t\!A$)

On échange lignes et colonnes. Si $A$ est $(n, p)$, $A^T$ est $(p, n)$.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

Propriétés :

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\lambda A)^T = \lambda A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (ordre inversé !)
• $(A^T)^T = A$

Erreurs classiques

1. Additionner $A(2,3) + B(3,2)$ : dimensions différentes, impossible.
2. Écrire $AB = BA$ : faux sauf cas particuliers.
3. $(AB)^T = A^T B^T$ : NON, c’est $B^T A^T$.
4. Oublier la ligne × colonne dans le produit matriciel.

?À toi de jouer

A est (3, 2) et B est (2, 4). Dimension de AB ?

A.(3, 4)B.(2, 2)C.(4, 3)D.Impossible

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