الدالة الأسّية: درس كامل مع الخصائص والمشتقة والمنحنى التفاعلي

الفكرة الأساسية

الدالة الأسّية، يُرمز لها بـ $\exp$ أو $x \mapsto e^x$، هي أهمّ دالّة في برنامج التحضيري. لها خاصّة فريدة: مشتقتها تساوي نفسها.

التعريف

$\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$

هي الدالة الوحيدة المعرّفة على $\mathbb{R}$ بحيث:

• $\exp(0) = 1$
• لكل عدد حقيقي $x$، $\exp'(x) = \exp(x)$ (المشتقة = الدالة نفسها)

نكتب أيضًا $\exp(x) = e^x$ حيث $e \approx 2{,}71828\ldots$

الخصائص الجبرية الخمس

هذه الصيغ تشبه صيغ القوى — نستعملها باستمرار:

الخاصية	الصيغة
مجموع في الأس	$e^{a + b} = e^a \times e^b$
فرق	$e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
النظير	$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
قوة	$(e^a)^n = e^{na}$
جذر	$e^{a/2} = \sqrt{e^a}$

المشتقة

أساسي: $(e^x)' = e^x$

مع دالة مركّبة: $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$

حرّك المؤشّر أدناه: عند كل $x$، ميل المماس يساوي قيمة الدالة.

x₀ =0.5

Point

—

Pente de la tangente (nombre dérivé)

—

أمثلة:

• $(e^{3x})' = 3 e^{3x}$
• $(e^{-x})' = -e^{-x}$
• $(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$

اتّجاه التغيّر

لكل $x \in \mathbb{R}$، $e^x > 0$ (الأسية دائمًا موجبة قطعًا).

إذن $(e^x)' = e^x > 0$ ⇒ $\exp$ متزايدة قطعًا على $\mathbb{R}$.

النتيجة: $\exp$ تباين من $\mathbb{R}$ إلى $\mathbb{R}_+^*$. دالّتها العكسية هي اللوغاريتم النيبيري $\ln$.

النهايات للحفظ

النهاية	القيمة
$\lim_{x \to +\infty} e^x$	$+\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x$	$0$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}$	$+\infty$ (نمو مقارن)
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}$	$+\infty$ لكل $n$
$\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x$	$0$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$	$1$ (العدد المشتق عند 0)

النمو المقارن: الأسية تتفوّق على كل قوى في $+\infty$.

المعادلات والمتراجحات الأسية

الأسية متزايدة قطعًا، إذن:

• $e^a = e^b \iff a = b$
• $e^a < e^b \iff a < b$

مثال 1: معادلة

حُلّ $e^{2x - 3} = e^{x + 1}$.

بالتباين: $2x - 3 = x + 1$، أي $x = 4$.

مثال 2: مع ثابت

حُلّ $e^x = 5$.

بـ $\ln$: $x = \ln(5) \approx 1{,}61$.

مثال 3: متراجحة

حُلّ $e^{2x - 1} \geq e^{3x + 2}$.

بالتزايد القطعي: $2x - 1 \geq 3x + 2 \iff x \leq -3$.

دراسة كاملة: $f(x) = x e^{-x}$

كلاسيكية بكالوريا.

المجال: $\mathbb{R}$.

المشتقة: $f'(x) = e^{-x}(1 - x)$.

إشارة $f'$: بما أنّ $e^{-x} > 0$، فإنّ إشارة $f'$ هي إشارة $(1 - x)$:

• $f' > 0$ لـ $x < 1$
• $f' < 0$ لـ $x > 1$

النهاية القصوى: قصوى عند $x = 1$، مع $f(1) = 1/e \approx 0{,}37$.

النهايات:

• عند $-\infty$: $e^{-x} \to +\infty$ و $x \to -\infty$، إذن $f(x) \to -\infty$.
• عند $+\infty$: $x/e^x \to 0$.

تطبيقات ملموسة

• نمو السكان: $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$
• الاضمحلال الإشعاعي: $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$
• شحن مكثّف: $u(t) = U(1 - e^{-t/\tau})$
• الفوائد المركّبة: $C(t) = C_0 \cdot e^{rt}$

أخطاء شائعة

1. الخلط بين $e^{a+b}$ و $e^a + e^b$: هي جداء ($e^a \times e^b$)، ليست مجموع.
2. نسيان $u'$ في المركّبة: $(e^{2x})' = 2 e^{2x}$، وليس $e^{2x}$.
3. الاعتقاد أنّ $e^{-x}$ قد يكون سالبًا: لا، الأسية دائمًا > 0.
4. $\ln$ و $e$ عكسيتان: $\ln(e^x) = x$ و $e^{\ln(x)} = x$ (لـ $x > 0$).

تمارين محلولة

تمرين 1

بسّط $e^{2x} \cdot e^{-3x}$.

عرض الحل

مجموع الأسّين: $e^{-x}$.

تمرين 2

حُلّ $e^{x^2} = e^{2x + 3}$.

عرض الحل

بالتباين: $x^2 = 2x + 3$، أي $x^2 - 2x - 3 = 0$. $\Delta = 16$، الجذران $-1$ و $3$.

تمرين 3

ادرس تغيّرات $g(x) = e^{x^2 - 2x}$.

عرض الحل

$g'(x) = (2x - 2) e^{x^2 - 2x}$. بما أنّ $e^{...} > 0$:

• $g' < 0$ لـ $x < 1$
• $g' > 0$ لـ $x > 1$

$g$ متناقصة على $(-\infty, 1]$، متزايدة على $[1, +\infty)$. صغرى عند $x = 1$: $g(1) = 1/e$.

للحفظ

• $\exp(0) = 1$، $\exp' = \exp$.
• موجبة قطعًا دائمًا، متزايدة قطعًا، تباين.
• $e^{a+b} = e^a e^b$، $e^{-a} = 1/e^a$.
• مشتقة مركّبة: $(e^u)' = u' e^u$.
• تتفوّق على كل قوّة في $+\infty$.
• العكسية: $\ln$.

للمزيد

• حيل مرتبطة: الأسية تهزم القوى، المشتقات الأساسية.
• التالي: دالة $\ln$ (عكسية $\exp$).
• التطبيقات: المعادلات التفاضلية $y' = ay$، حلّها $y = Ce^{ax}$.