Fonction exponentielle : cours complet avec propriétés, dérivée et courbe interactive

Ce qu’il faut retenir en une image

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est la fonction la plus importante de tout le programme de Terminale. Elle a une propriété unique : elle est égale à sa propre dérivée.

Définition

$\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$

C’est l’unique fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que :

• $\exp(0) = 1$
• Pour tout réel $x$, $\exp'(x) = \exp(x)$ (dérivée = fonction elle-même)

On note aussi $\exp(x) = e^x$ où $e \approx 2{,}71828…$

Les 5 propriétés algébriques essentielles

Ces formules ressemblent à celles des puissances — elles s’utilisent tout le temps :

Propriété	Formule
Somme au numérateur	$e^{a + b} = e^a \times e^b$
Différence	$e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
Opposé	$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
Puissance	$(e^a)^n = e^{na}$
Racine	$e^{a/2} = \sqrt{e^a}$

Dérivée

Fondamentale : $(e^x)' = e^x$

Cas plus général (composée) : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$

Manipule la tangente ci-dessous pour voir la propriété : à chaque $x$, la pente de la tangente égale la valeur de la fonction.

x₀ =0.5

Point

—

Pente de la tangente (nombre dérivé)

—

Exemples de dérivées :

• $(e^{3x})' = 3 e^{3x}$
• $(e^{-x})' = -e^{-x}$
• $(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$

Sens de variation

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ (l’exponentielle est toujours strictement positive).

Donc $(e^x)' = e^x > 0$ ⇒ $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Conséquence : l’exponentielle est bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}_+^*$. Sa fonction réciproque est le logarithme népérien $\ln$.

Limites à connaître par cœur

Limite	Valeur
$\lim_{x \to +\infty} e^x$	$+\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x$	$0$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}$	$+\infty$ (croissances comparées)
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}$	$+\infty$ pour tout $n$
$\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x$	$0$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$	$1$ (nombre dérivé en 0)

Croissances comparées : l’exponentielle bat toutes les puissances en $+\infty$.

Équations et inéquations exponentielles

L’exponentielle est strictement croissante, donc :

• $e^a = e^b \iff a = b$
• $e^a < e^b \iff a < b$

Exemple 1 : équation

Résoudre $e^{2x - 3} = e^{x + 1}$.

Par bijection : $2x - 3 = x + 1$, soit $x = 4$.

Exemple 2 : équation avec constante

Résoudre $e^x = 5$.

Par bijection avec $\ln$ : $x = \ln(5) \approx 1{,}61$.

Exemple 3 : inéquation

Résoudre $e^{2x - 1} \geq e^{3x + 2}$.

Par croissance stricte : $2x - 1 \geq 3x + 2 \iff -x \geq 3 \iff x \leq -3$.

Étude complète : $f(x) = x e^{-x}$

Un grand classique de bac.

Domaine : $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.

Signe de $f'$ : $e^{-x} > 0$ toujours, donc $f'(x)$ a le signe de $(1 - x)$ :

• $f'(x) > 0$ pour $x < 1$
• $f'(x) < 0$ pour $x > 1$

Extremum : maximum en $x = 1$, avec $f(1) = e^{-1} = 1/e \approx 0{,}37$.

Limites :

• En $-\infty$ : $e^{-x} \to +\infty$ et $x \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$.
• En $+\infty$ : $x \cdot e^{-x} = x / e^x \to 0$ (croissances comparées).

Applications concrètes

• Croissance de population : $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ (bactéries, population humaine sans limite)
• Décroissance radioactive : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$
• Charge d’un condensateur : $u(t) = U(1 - e^{-t/\tau})$
• Intérêts composés continus : $C(t) = C_0 \cdot e^{rt}$

Erreurs classiques

1. Confondre $e^{a+b}$ avec $e^a + e^b$ : c’est un produit ($e^a \times e^b$), pas une somme.
2. Oublier $u'$ dans la dérivée composée : $(e^{2x})' = 2 e^{2x}$, PAS $e^{2x}$.
3. Croire que $e^{-x}$ peut être négatif : NON, l’exponentielle est toujours > 0.
4. $\ln$ et $e$ ne « s’annulent » que dans le bon sens : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x > 0$).

Exercices corrigés

Exercice 1 (calcul)

Simplifie $e^{2x} \cdot e^{-3x}$.

Voir le corrigé

Somme des exposants : $e^{2x - 3x} = e^{-x}$.

Exercice 2 (équation)

Résous $e^{x^2} = e^{2x + 3}$.

Voir le corrigé

Par bijection : $x^2 = 2x + 3$, soit $x^2 - 2x - 3 = 0$. $\Delta = 4 + 12 = 16$, racines $x_1 = -1$ et $x_2 = 3$.

Exercice 3 (variations)

Étudie les variations de $g(x) = e^{x^2 - 2x}$.

Voir le corrigé

$g'(x) = (2x - 2) \cdot e^{x^2 - 2x}$. Comme $e^{...} > 0$, le signe de $g'$ est celui de $(2x - 2)$ :

• $g'(x) < 0$ pour $x < 1$
• $g'(x) > 0$ pour $x > 1$

$g$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$. Minimum en $x = 1$ : $g(1) = e^{-1} = 1/e$.

À retenir

• $\exp(0) = 1$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
• Toujours strictement positive, strictement croissante, bijective.
• $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{-a} = 1/e^a$.
• Dérivée composée : $(e^u)' = u' e^u$.
• Croissances comparées : $\exp$ bat toute puissance.
• Réciproque : $\ln$.

Pour aller plus loin

• Astuces liées : L’exponentielle bat toutes les puissances, Les 8 dérivées à connaître.
• Suite naturelle : la fonction logarithme $\ln$ (réciproque de $\exp$).
• Applications : équations différentielles $y' = ay$, dont la solution est $y = Ce^{ax}$.