الأعداد العقدية: درس كامل للبكالوريا | الثانوي

العدد i

يوجد عدد $i$ بحيث $i^2 = -1$ . ليس موجبًا ولا سالبًا.

مجموعة $\mathbb{C}$ للـ أعداد العقدية تحتوي كل $z = a + i b$ مع $a, b \in \mathbb{R}$ .

الجمع: $(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)$ .

الجداء: $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$ .

المرافق: $\overline{z} = a - ib$ . لدينا $z \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ .

المقلوب: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$ .

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ : المسافة من $z$ إلى الأصل في المستوى العقدي.

$\arg(z) = \theta$ بحيث $z = |z|(\cos\theta + i \sin\theta)$ . الزاوية بين المحور الحقيقي و $[Oz]$ .

الخواص:

المثلثي: $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$

الأسي: $z = |z| e^{i\theta}$ (مع $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ، صيغة أويلر)

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

بالأسي: $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ .

إذا $w = r e^{i\alpha}$ : الجذران التربيعيان هما $\pm \sqrt{r} \, e^{i\alpha/2}$ .

$az^2 + bz + c = 0$ مع $\Delta = b^2 - 4ac$ .

$\Delta \geq 0$ : حلّان حقيقيان (الصيغ المعتادة).
$\Delta < 0$ : حلّان عقديان مترافقان $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

$z = a + ib$ ↔ نقطة $M(a, b)$ في المستوى العقدي.

الحلول $n$ للمعادلة $z^n = 1$ هي $z_k = e^{2i k \pi / n}$ لـ $k = 0, 1, \ldots, n-1$ .