Nombres complexes : cours complet (i, forme algébrique, module, argument, exponentielle)

Le nombre i

Il existe un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$. Il n’est ni positif ni négatif.

L’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes contient tous les $z = a + i b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.

• $a = \text{Re}(z)$ : partie réelle
• $b = \text{Im}(z)$ : partie imaginaire (réelle, pas $ib$ !)

Forme algébrique et opérations

Somme : $(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)$.

Produit : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.

Conjugué : $\overline{z} = a - ib$. On a $z \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.

Inverse : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$.

Module et argument

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ : distance de $z$ à l’origine dans le plan complexe.

$\arg(z) = \theta$ tel que $z = |z|(\cos\theta + i \sin\theta)$. C’est l’angle entre l’axe réel et $[Oz]$.

Propriétés :

• $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
• $|z^n| = |z|^n$, $\arg(z^n) = n \arg(z)$

Forme trigonométrique et exponentielle

Trigonométrique : $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$

Exponentielle : $z = |z| e^{i\theta}$ (avec $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, formule d’Euler)

Formule de Moivre

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Ou en exponentielle : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

Résoudre $z^2 = w$ dans $\mathbb{C}$

Si $w = r e^{i\alpha}$ : les 2 racines carrées sont $\pm \sqrt{r} \, e^{i\alpha/2}$.

Équation du 2nd degré à coefficients réels

$az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta = b^2 - 4ac$.

• $\Delta \geq 0$ : deux solutions réelles (formules usuelles).
• $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Représentation géométrique

$z = a + ib$ ↔ point $M(a, b)$ dans le plan complexe.

• $|z|$ = $OM$
• $\arg(z)$ = angle $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$
• $|z_2 - z_1|$ = distance entre $M_1$ et $M_2$
• $\arg(z_2 - z_1)$ = angle du vecteur $\overrightarrow{M_1 M_2}$

Racines n-ièmes de l’unité

Les $n$ solutions de $z^n = 1$ sont $z_k = e^{2i k \pi / n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$.

Erreurs classiques

1. Écrire $\sqrt{-1}$ au lieu de $i$ (notation à éviter).
2. Confondre partie imaginaire et $ib$ ($\text{Im}(2 + 3i) = 3$, pas $3i$).
3. Oublier le $\pmod{2\pi}$ dans les arguments.
4. Additionner les modules d’une somme ($|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$ en général).