الدوال الأصلية: درس كامل مع الصيغ والطرق

التعريف

الدالة $F$ دالة أصلية لـ $f$ على مجال $I$ إذا:

$F'(x) = f(x) \text{ لكل } x \in I$

الدالة الأصلية = العملية العكسية للاشتقاق.

الخاصّة الأساسية

دالتان أصليتان لنفس الدالة تختلفان بثابت.

إذا كانت $F$ و $G$ دالتَين أصليتَين لـ $f$، فإنّ $G(x) = F(x) + C$.

نكتب عادةً:

$F(x) + C$

الصيغ الأساسية

$f(x)$	الدالة الأصلية $F(x)$	المجال
$k$ (ثابت)	$kx$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$x \neq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$x > 0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan(x)$	$\mathbb{R}$

الخطّية

$\int (af + bg) = a \int f + b \int g$

الدالة الأصلية للمجموع = مجموع الدوال الأصلية.

مثال: دالة أصلية لـ $3x^2 - 5x + 7$: $F(x) = x^3 - \dfrac{5x^2}{2} + 7x + C$.

نموذج المركّبة: $u' \cdot v'(u)$

إذا تعرّفت على النموذج $u'(x) \cdot v'(u(x))$، فإنّ دالة أصلية هي $v(u(x))$.

حالات شائعة:

• $\displaystyle \int u' \cdot u^n = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
• $\displaystyle \int \dfrac{u'}{u} = \ln|u|$
• $\displaystyle \int u' \cdot e^u = e^u$
• $\displaystyle \int u' \cdot \cos(u) = \sin(u)$

مثال 1: دالة أصلية لـ $2x \cdot e^{x^2}$. $u = x^2$، الأصلية: $e^{x^2}$.

مثال 2: دالة أصلية لـ $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$. $u = x^2 + 1$. الأصلية: $\ln(x^2 + 1)$.

الشرط الابتدائي

نبحث غالبًا عن الدالة الأصلية المحقّقة لشرط، مثل $F(0) = 3$.

مثال: جد $F$ الدالة الأصلية لـ $f(x) = 2x$ بحيث $F(0) = 5$. $F(x) = x^2 + C$. $F(0) = C = 5$. إذن $F(x) = x^2 + 5$.

الصلة بالتكامل المحدَّد

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

المبرهنة الأساسية للتحليل.

أخطاء شائعة

1. نسيان $+ C$.
2. الخلط بين الدالة الأصلية والمشتقة.
3. عدم التحقّق بالاشتقاق.
4. القسمة على $n + 1 = 0$: لـ $n = -1$، الدالة الأصلية $\ln|x|$، وليس $\dfrac{x^0}{0}$.

تمارين محلولة

تمرين 1

الدالة الأصلية لـ $f(x) = 4x^3 - 6x + 2$.

عرض الحل

$F(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + C$.

تمرين 2

الدالة الأصلية لـ $\dfrac{3x^2}{x^3 + 1}$.

عرض الحل

$u = x^3 + 1$. $F(x) = \ln|x^3 + 1| + C$.

تمرين 3

الدالة الأصلية لـ $\cos(2x)$.

عرض الحل

$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x) + C$.

للحفظ

• $F' = f$ يعرّف $F$.
• الدوال الأصلية تختلف بثابت.
• أضف $+ C$ دائمًا.
• تعرّف على نماذج المركّبة.
• تحقّق بالاشتقاق.

للمزيد

• حيل مرتبطة: الدوال الأصلية الأساسية، المشتقات الأساسية.
• التالي: التكامل بالتجزئة، تغيير المتغيّر.