Primitives : cours complet avec formules et méthodes

Définition

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si :

$F'(x) = f(x) \text{ pour tout } x \in I$

Autrement dit, $F$ est l’opération inverse de la dérivation.

Propriété fondamentale

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$, alors $G(x) = F(x) + C$ où $C \in \mathbb{R}$.

Pour cette raison, on note souvent la primitive « à une constante près » :

$F(x) + C$

Formules usuelles

$f(x)$	Primitive $F(x)$	Domaine
$k$ (constante)	$kx$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$)
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$\mathbb{R}_+^*$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan(x)$	$\mathbb{R}$

Linéarité

$\int (af + bg) = a \int f + b \int g$

Concrètement : la primitive d’une somme = somme des primitives. La primitive de $k \cdot f$ = $k$ fois la primitive de $f$.

Exemple : primitive de $3x^2 - 5x + 7$ ?

• Primitive de $3x^2$ : $x^3$
• Primitive de $-5x$ : $-\dfrac{5x^2}{2}$
• Primitive de $7$ : $7x$

Résultat : $F(x) = x^3 - \dfrac{5x^2}{2} + 7x + C$.

Composée : $u' \cdot v'(u)$

Si tu reconnais la forme $u'(x) \cdot v'(u(x))$, alors une primitive est $v(u(x))$.

Cas fréquents :

• $\displaystyle \int u' \cdot u^n = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$)
• $\displaystyle \int \dfrac{u'}{u} = \ln|u|$
• $\displaystyle \int u' \cdot e^u = e^u$
• $\displaystyle \int u' \cdot \cos(u) = \sin(u)$

Exemple 1 : primitive de $2x \cdot e^{x^2}$. Reconnais $u = x^2$, $u' = 2x$. Primitive : $e^{x^2}$.

Exemple 2 : primitive de $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$. Reconnais $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$. Primitive : $\ln(x^2 + 1)$.

Condition initiale

Souvent on cherche LA primitive qui satisfait une condition, comme $F(0) = 3$ ou $F(1) = 0$.

Exemple : trouve la primitive $F$ de $f(x) = 2x$ telle que $F(0) = 5$.

$F(x) = x^2 + C$. Condition : $F(0) = C = 5$. Donc $F(x) = x^2 + 5$.

Lien avec l’intégrale (Terminale)

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

où $F$ est une primitive de $f$.

C’est le théorème fondamental de l’analyse.

Erreurs classiques

1. Oublier la constante $+ C$ : les primitives sont définies à une constante près.
2. Confondre primitive et dérivée.
3. Oublier de vérifier : dériver la primitive doit redonner la fonction de départ.
4. Diviser par $n + 1 = 0$ : pour $n = -1$ (soit $\dfrac{1}{x}$), la primitive n’est pas $\dfrac{x^0}{0}$ mais $\ln|x|$.

Exercices corrigés

Exercice 1

Primitive de $f(x) = 4x^3 - 6x + 2$.

Voir le corrigé

$F(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + C$.

Exercice 2

Primitive de $f(x) = \dfrac{3x^2}{x^3 + 1}$.

Voir le corrigé

Forme $u'/u$ avec $u = x^3 + 1$, $u' = 3x^2$. $F(x) = \ln|x^3 + 1| + C$.

Exercice 3

Trouve la primitive de $f(x) = \cos(2x)$.

Voir le corrigé

Forme $u' \cdot \cos(u)$ avec $u = 2x$, $u' = 2$. Il manque le facteur 2, donc on compense : $F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x) + C$.

À retenir

• $F' = f$ définit $F$ primitive de $f$.
• Deux primitives diffèrent d’une constante.
• Toujours ajouter $+ C$.
• Reconnaître les formes composées $u'v'(u)$.
• Vérifier en dérivant la primitive.

Pour aller plus loin

• Astuces liées : Les primitives à connaître par cœur, Les 8 dérivées usuelles.
• Suite : intégration par parties, changement de variable (prépa).