دالة اللوغاريتم النيبيري: درس كامل مع الخصائص والمنحنى التفاعلي

الفكرة الأساسية

دالة اللوغاريتم النيبيري، يُرمز لها بـ $\ln$، هي الدالة العكسية للأسّية. تحوّل الجداء إلى مجموع، مما يجعلها أساسية في كل نموذج يعتمد على الضرب (النمو، الديسيبل، pH…).

التعريف

$\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$

هي الدالة العكسية للأسّية:

• $\ln(e^x) = x$ لكل عدد حقيقي
• $e^{\ln x} = x$ لكل $x > 0$

قيم مميّزة: $\ln(1) = 0$ و $\ln(e) = 1$.

الخصائص الجبرية الخمس

هذه الصيغ معكوسة لصيغ الأسّية. احفظها.

الخاصية	الصيغة
جداء	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
قسمة	$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$
مقلوب	$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$
قوّة	$\ln(a^n) = n \ln a$
جذر	$\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2} \ln a$

⚠️ صحيحة فقط لـ $a, b > 0$.

المشتقة

أساسي: $(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \quad \text{لـ } x > 0$

مع دالة مركّبة: $(\ln u(x))' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

أمثلة:

• $(\ln(2x + 1))' = \dfrac{2}{2x + 1}$
• $(\ln(x^2 + 1))' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

x₀ =2

Point

—

Pente de la tangente (nombre dérivé)

—

اتّجاه التغيّر

على $\mathbb{R}_+^*$، $1/x > 0$، إذن $\ln$ متزايدة قطعًا.

تباين من $\mathbb{R}_+^*$ إلى $\mathbb{R}$.

النهايات

النهاية	القيمة
$\lim_{x \to +\infty} \ln x$	$+\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \ln x$	$-\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$	$0$ (نمو مقارن)
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}$	$0$ لـ $n > 0$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$	$0$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}$	$1$

النمو المقارن: اللوغاريتم يخسر أمام كل قوّة (عكس الأسّية).

المعادلات والمتراجحات

$\ln$ متزايدة قطعًا:

• $\ln a = \ln b \iff a = b$ (لـ $a, b > 0$)
• $\ln a < \ln b \iff a < b$

مثال 1

حُلّ $\ln(2x - 3) = \ln(x + 1)$.

الشرط: $x > 3/2$. بالتباين: $2x - 3 = x + 1 \iff x = 4$. ✓

مثال 2

حُلّ $\ln(x^2 - 1) \leq 0$.

$\ln y \leq 0 \iff y \leq 1$. إذن $x^2 - 1 \leq 1$، أي $x^2 \leq 2$.

الشرط: $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1$ أو $x > 1$.

الاتّحاد: $x \in [-\sqrt{2}, -1[ \cup ]1, \sqrt{2}]$.

مثال 3

حُلّ $\ln x = 3$.

$x = e^3 \approx 20{,}09$.

دراسة كاملة: $f(x) = x \ln x - x$

المجال: $x > 0$.

المشتقة: $f'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.

الإشارة: $\ln x > 0 \iff x > 1$.

• $f' < 0$ على $(0, 1)$
• $f' > 0$ على $(1, +\infty)$

نهاية صغرى عند $x = 1$: $f(1) = -1$.

النهايات:

• $x \to 0^+$: $f(x) \to 0$.
• $x \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$.

تطبيقات ملموسة

• pH: $\text{pH} = -\log[H^+]$
• الديسيبل: $L = 10 \log(I/I_0)$
• قوة الزلزال: مقياس لوغاريتمي
• زمن التضاعف: $T = \dfrac{\ln 2}{k}$

أخطاء شائعة

1. $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$. القاعدة للـ جداء: $\ln(ab)$.
2. $\ln$ لعدد سالب غير معرَّف (في الحقائق).
3. نسيان شروط الوجود: تحقّق دائمًا أن المُعطيات موجبة.
4. $\ln$ مقابل $\log$: في الثانوي $\log$ يعني عادة $\ln$ ما لم يُذكر خلاف ذلك.

تمارين محلولة

تمرين 1

بسّط $\ln 12 - \ln 3 + \ln 4$.

عرض الحل

$= \ln(12/3) + \ln 4 = \ln 4 + \ln 4 = 2\ln 4 = \ln 16$.

تمرين 2

حُلّ $\ln(x + 2) + \ln(x - 1) = \ln 4$.

عرض الحل

الشرط: $x > 1$. $\ln((x+2)(x-1)) = \ln 4$، إذن $(x+2)(x-1) = 4$. $x^2 + x - 6 = 0$، الجذران $2$ أو $-3$. فقط $2$ صالح.

تمرين 3

مشتقة $f(x) = x \ln x$.

عرض الحل

$f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$.

للحفظ

• المجال $\mathbb{R}_+^*$، القيم في $\mathbb{R}$.
• عكسية $\exp$: $\ln(e^x) = x$، $e^{\ln x} = x$.
• $\ln(1) = 0$، $\ln(e) = 1$.
• الجداء إلى مجموع: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• المشتقة: $1/x$، المركّبة: $u'/u$.
• متزايدة قطعًا، تباين.
• تخسر أمام أي قوّة في $+\infty$.

للمزيد

• الدرس المرتبط: الدالة الأسية.
• حيل مرتبطة: 5 خصائص اللوغاريتم.