Fonction logarithme népérien : cours complet, propriétés et courbe interactive

Ce qu’il faut retenir en une image

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de l’exponentielle. Elle transforme un produit en somme, ce qui la rend indispensable dans tous les modèles qui multiplient (croissance, décibels, pH…).

Définition

$\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$

C’est la fonction réciproque de $\exp$ :

• $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$
• $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$

Valeurs remarquables : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

Les 5 propriétés algébriques

Ces formules sont le miroir de celles de l’exponentielle. À connaître par cœur.

Propriété	Formule
Produit	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
Quotient	$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$
Inverse	$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$
Puissance	$\ln(a^n) = n \ln a$
Racine	$\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2} \ln a$

⚠️ Ces formules ne sont valables que pour $a, b > 0$.

Dérivée

Fondamentale : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \quad \text{pour } x > 0$

Cas général (composée) : $(\ln u(x))' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Exemples :

• $(\ln(2x + 1))' = \dfrac{2}{2x + 1}$
• $(\ln(x^2 + 1))' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

x₀ =2

Point

—

Pente de la tangente (nombre dérivé)

—

Sens de variation

Sur $\mathbb{R}_+^*$, la dérivée $1/x > 0$, donc $\ln$ est strictement croissante.

Elle est bijective de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$.

Limites à connaître

Limite	Valeur
$\lim_{x \to +\infty} \ln x$	$+\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \ln x$	$-\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$	$0$ (croissances comparées)
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}$	$0$ pour tout $n > 0$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$	$0$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}$	$1$

Croissances comparées : le logarithme est battu par toutes les puissances (contrairement à l’exponentielle qui les bat).

Équations et inéquations

Comme $\ln$ est strictement croissante :

• $\ln a = \ln b \iff a = b$ (pour $a, b > 0$)
• $\ln a < \ln b \iff a < b$

Exemple 1 : équation

Résoudre $\ln(2x - 3) = \ln(x + 1)$.

Condition : $2x - 3 > 0$ ET $x + 1 > 0$, soit $x > 3/2$. Par bijection : $2x - 3 = x + 1 \iff x = 4$. Vérifie la condition ⇒ solution : $x = 4$.

Exemple 2 : inéquation

Résoudre $\ln(x^2 - 1) \leq 0$.

$\ln(y) \leq 0 \iff y \leq 1$. Donc $x^2 - 1 \leq 1$, soit $x^2 \leq 2$.

Condition : $x^2 - 1 > 0$, donc $x < -1$ ou $x > 1$.

Combinaison : $x \in [-\sqrt{2}, -1[ \cup ]1, \sqrt{2}]$.

Exemple 3 : équation avec constante

Résoudre $\ln x = 3$.

Par bijection : $x = e^3 \approx 20{,}09$.

Étude complète : $f(x) = x \ln x - x$ (une classique)

Domaine : $x > 0$.

Dérivée : $f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$.

Signe de $f'$ : $\ln x > 0 \iff x > 1$.

• $f'(x) < 0$ pour $0 < x < 1$
• $f'(x) > 0$ pour $x > 1$

Minimum en $x = 1$ : $f(1) = 1 \cdot 0 - 1 = -1$.

Limites :

• En $0^+$ : $x \ln x \to 0$ et $-x \to 0$, donc $f(x) \to 0$.
• En $+\infty$ : $x(\ln x - 1) \to +\infty$.

Applications concrètes

• pH : $\text{pH} = -\log[H^+]$
• Décibels : $L = 10 \log(I/I_0)$
• Magnitude d’un séisme : échelle logarithmique
• Croissance exponentielle inverse : temps de doublement $T = \dfrac{\ln 2}{k}$

Erreurs classiques

1. Confondre $\ln(a + b)$ avec $\ln a + \ln b$ : NON ! $\ln(a + b)$ ne se simplifie pas. La bonne formule concerne le produit : $\ln(ab)$.
2. Prendre $\ln$ d’un nombre négatif : $\ln$ n’est définie que sur $\mathbb{R}_+^*$.
3. Oublier les conditions d’existence dans une équation : toujours vérifier que les arguments sont positifs.
4. Confondre $\ln$ et $\log$ (logarithme décimal, base 10). En Terminale, sauf mention contraire, $\log$ = $\ln$.

Exercices corrigés

Exercice 1 (calcul)

Simplifie $\ln 12 - \ln 3 + \ln 4$.

Voir le corrigé

$= \ln(12/3) + \ln 4 = \ln 4 + \ln 4 = 2 \ln 4 = \ln 16$.

Ou : $= \ln(12 \times 4 / 3) = \ln 16$.

Exercice 2 (équation)

Résous $\ln(x + 2) + \ln(x - 1) = \ln 4$.

Voir le corrigé

Condition : $x > 1$. Par somme : $\ln((x+2)(x-1)) = \ln 4$, soit $(x+2)(x-1) = 4$. $x^2 + x - 2 = 4$, donc $x^2 + x - 6 = 0$. $\Delta = 1 + 24 = 25$. Racines : $x = 2$ ou $x = -3$. Seul $x = 2$ vérifie la condition. Solution : $x = 2$.

Exercice 3 (dérivée)

Dérive $f(x) = x \ln x$.

Voir le corrigé

Produit : $f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$.

À retenir

• $\ln$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.
• Réciproque de $\exp$ : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.
• $\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$.
• Produit → somme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• Dérivée : $(\ln x)' = 1/x$, $(\ln u)' = u'/u$.
• Strictement croissante, bijective.
• Battue par toute puissance en $+\infty$.

Pour aller plus loin

• Cours lié : Fonction exponentielle (la réciproque).
• Astuces liées : 5 propriétés du logarithme, Croissances comparées.
• Suite : primitives et intégrales.