التقريب الخطي الموضعي: f(a+h) ≈ f(a) + h·f'(a)

الصيغة الأساسية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$، فإنّ لكل $h$ صغيرة:

$f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$

هي معادلة مماس المنحنى في $a$، تُستعمل موضعيًا لتقريب $f$.

التفسير الهندسي

قرب النقطة $A(a, f(a))$، المنحنى والمماس متطابقان تقريبًا. المماس يعطي إذًا تقديرًا جيّدًا لـ $f(a + h)$.

كلّما كانت $h$ أصغر، كان التقريب أفضل.

أمثلة حساب سريع

$\sqrt{4{,}01}$؟ نأخذ $f(x) = \sqrt{x}$، $a = 4$، $h = 0{,}01$.

$f(4) = 2$، $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$، $f'(4) = 1/4$.

$\sqrt{4{,}01} \approx 2 + 0{,}01 \times 1/4 = 2 + 0{,}0025 = 2{,}0025$.

القيمة الحقيقية: $2{,}002498\ldots$ ✓

$(1{,}02)^{10}$؟ $f(x) = x^{10}$، $a = 1$، $h = 0{,}02$.

$f(1) = 1$، $f'(1) = 10$، إذًا $(1{,}02)^{10} \approx 1 + 0{,}2 = 1{,}2$ (الحقيقية $\approx 1{,}219$).

صيغة مكافئة مع $x$ قرب $a$

$f(x) \approx f(a) + (x - a) \cdot f'(a)$

نشر تايلور (تحضيري)

التقريب الخطي هو نشر تايلور من الرتبة 1. يمكن الذهاب أبعد:

$f(a + h) \approx f(a) + h f'(a) + \dfrac{h^2}{2} f''(a) + o(h^2)$

الترميز التفاضلي

$df \approx f'(a) \, dh$

فيزيائيًا: تغيّر صغير في $f$ ≈ المشتقة × تغيّر صغير في المتغيّر.

أخطاء شائعة

1. استعمال الصيغة مع $h$ كبيرة (تقريب سيّئ).
2. نسيان العامل $f'(a)$ (مجرّد $f(a) + h$ خطأ).
3. الخلط بين $h$ و $x$ في الصيغة.

?À toi de jouer

ln(1,01) ≈ ? (f(x) = ln(x)، a = 1)

A.0,01B.0,1C.1,01D.0

Valider